在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a.b.c,且a2-(b-c)2=(2-
3
)bc
,sinAsinB=cos2
C
2
,BC邊上中線AM的長為
7

(Ⅰ)求角A和角B的大。
(Ⅱ)求△ABC的面積.
分析:(1)將a2-(b-c)2=(2-
3
)bc
展開,根據(jù)余弦定理可求出cosA的值,進(jìn)而得到角A的值;將角A的值代入sinAsinB=cos2
C
2
,再運(yùn)用余弦函數(shù)的二倍角公式可得到sinB=1+cosC,再由B+C=
5
6
π
可求出角C的值,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°得到角B的值.
(2)先設(shè)出AC的長,根據(jù)余弦定理可求出x,再由三角形的面積公式可得答案.
解答:解:(Ⅰ)由a2-(b-c)2=(2-
3
)bc得a2-b2-c2=-
3
bc
,
cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
3
2
,A=
π
6
.

sinAsinB=cos2
C
2
,得
1
2
sinB=
1+cosC
2
即sinB=1+cosC
則cosC<0,即C為鈍角,故B為銳角,且B+C=
5
6
π

sin(
5
6
π-C)=1+cosC?cos(C+
π
3
)=-1?C=
2
3
π
B=
π
6

(Ⅱ)設(shè)AC=x,由余弦定理得AM2=x2+
x2
4
-2x•
x
2
•(-
1
2
)=
7
2

解得x=2故S△ABC=
1
2
•2•2•
3
2
=
3
點(diǎn)評:本題主要考查余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用.在做這種題型時經(jīng)常要用三內(nèi)角之間的相互轉(zhuǎn)化,即用其他兩個角表示出另一個的做法.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若b2+c2-a2=
3
bc
,且b=
3
a
,則下列關(guān)系一定不成立的是(  )
A、a=c
B、b=c
C、2a=c
D、a2+b2=c2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知B=60°,cos(B+C)=-
1114

(1)求cosC的值;
(2)若bcosC+acosB=5,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且bsinA=
3
acosB

(1)求角B的大。
(2)若a=4,c=3,D為BC的中點(diǎn),求△ABC的面積及AD的長度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c并且滿足
b
a
=
sinB
cosA

(1)求∠A的值;
(2)求用角B表示
2
sinB-cosC
,并求它的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,且a=
5
,b=3,sinC=2sinA
,則sinA=
 

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