Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=-a2 lnx+x2-ax（a∈R）．

（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性：

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e）中有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）a∈（-e，-2）．

【解析】分析：（1）根據(jù)函數(shù)定義域，求f'（x）=，根據(jù)a 的取值情況分類討論導(dǎo)數(shù)的符號，研究其單調(diào)性。

（2）根據(jù)（1）中單調(diào)區(qū)間，判斷有兩個零點的條件，列出不等式組求出a的范圍即可。

詳解：（1）f（x）的定義域為（0，+）．

由f（x）=-a2lnx+x2-ax（a∈R）

可知f'（x）=，

所以若a>0，則當(dāng)x∈（0，a）時，f'（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（a，+）時，f'（x）>0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

若a=0，則當(dāng)f'（x）=2x>0在（0，+）內(nèi)恒成立，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；

若a<0，則當(dāng)x∈（0，-）時，f'（x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（-，+）時，f'（x）>0，則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

（2）若a>0，f（x）在（0，a）單調(diào)遞減，在（a，+）單調(diào)遞增．

若a<0，f（x）在（0，-）單調(diào)遞減，在（-，+）單調(diào)遞增．

由題意，若f（x）在區(qū)間（1，e）中有兩個零點，則有或

得a無解或a∈（-e，-2）.

綜上，a∈（-e，-2）．