已知F是橢圓D:
x2
2
+y2=1
的右焦點(diǎn),過點(diǎn)E(2,0)且斜率為正數(shù)的直線l與D交于A、B兩點(diǎn),C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn).
(Ⅰ)證明:點(diǎn)F在直線BC上;
(Ⅱ)若
EB
EC
=1
,求△ABC外接圓的方程.
分析:(Ⅰ)設(shè)出直線l的方程,代入橢圓方程,利用向量共線,證明B、F、C三點(diǎn)共線,即點(diǎn)F在直線BC上;
(Ⅱ)利用
EB
EC
=1
,確定直線的斜率,從而可求A,B,C的坐標(biāo),即可求△ABC外接圓的方程.
解答:(Ⅰ)證明:設(shè)直線l:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x1,-y1),F(xiàn)(1,0),
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0.
所以x1+x2=
8k2
2k2+1
,x1x2=
8k2-2
2k2+1

又△=64k4-8(2k2+1)(4k2-1)>0,則k2
1
2
.…(3分)
FB
=(x2-1 , y2)=(x2-1 , kx2-2k)
,
FC
=(x1-1 , -y1)=(x1-1 , -kx1+2k)

所以(x1-1)(kx2-2k)-(x2-1)(-kx1+2k)=k[2x1x2-3(x1+x2)+4=k(
16k2-4
2k2+1
-
24k2
2k2+1
+4)
=0.…(5分)
∴B、F、C三點(diǎn)共線,即點(diǎn)F在直線BC上.…(6分)
(Ⅱ)解:因?yàn)?span id="7jnvdf7" class="MathJye">
EB
=(x2-2 , y2),
EC
=(x1-2 , -y1)
,
所以
EB
EC
=(x2-2)(x1-2)-y1y2=(1-k2)(x2-2)(x1-2)
=(1-k2)[x1x2-2(x1+x2)+4]=(1-k2)(
8k2-2
2k2+1
-
16k2
2k2+1
+4)
=
2-2k2
2k2+1
=1,
又k>0,解得k=
1
2
,滿足k2
1
2
.…(9分)
代入(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0,知 x1,x2是方程3x2-4x=0的兩根,
根據(jù)對稱性不妨設(shè)x1=0,x2=
4
3
,即A(0,-1),C(0,1),B(
4
3
, -
1
3
)
.…(10分)
設(shè)△ABC外接圓的方程為(x-a)2+y2=a2+1,把B(
4
3
, -
1
3
)
代入方程得a=
1
3
,
即△ABC外接圓的方程為(x-
1
3
)2+y2=
10
9
.…(12分)
點(diǎn)評:本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查圓的方程,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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已知F是橢圓數(shù)學(xué)公式(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn)P,使得直線PF與圓x2+y2=b2相切,當(dāng)直線PF的傾斜角為數(shù)學(xué)公式,則此橢圓的離心率是


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式

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已知F是橢圓(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn)P,使得直線PF與圓x2+y2=b2相切,當(dāng)直線PF的傾斜角為,則此橢圓的離心率是( )
A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年浙江省溫州市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

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A.
B.
C.
D.

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