Question

12．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x+2，x≥a\\ 1-x，x＜a\end{array}\right.$（其中a＞0），若$f（1）+f（-a）=\frac{5}{2}$，則實數a的值為$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據x≥a≥1，x≥a＞1，a≤x＜1三種情況分類討論，能求出a的值．

解答 解：∵函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x+2，x≥a\\ 1-x，x＜a\end{array}\right.$（其中a＞0），$f（1）+f（-a）=\frac{5}{2}$，
∴當x≥a≥1時，
f（1）=1-2+2=1，
f（-a）=1-（-a）=1+a，
∴f（1）+f（-a）=1+1+a=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$，不成立；
當x≥a＞1時，
f（1）=1-1=0，
f（-a）=1-（-a）=1+a，
∴f（1）+f（-a）=0+1+a=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{3}{2}$．
當a≤x＜1時，
f（1）=1-2+2=1，
f（-a）=1-（-a）=1+a，
∴f（1）+f（-a）=1+1+a=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$．
綜上，a的值為$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查函數值的求法及應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．