Question

定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x），如果存在函數(shù)g（x）=Ax+B（A，B為常數(shù)），使得 f（x）≥g（x）對一切實(shí)數(shù)x都成立，那么稱為 g（x）為函數(shù) f（x）的一個(gè)承托函數(shù)，給出如下命題：
（1）定義域和值域都是R的函數(shù)f（x）不存在承托函數(shù)；
（2）g（x）=2x為函數(shù)f（x）=2^x的一個(gè)承托函數(shù)；
（3）g（x）=ex為函數(shù)f（x）=e^x的一個(gè)承托函數(shù)；
（4）函數(shù)f(x)=-

1

5x2-4x+11

，若函數(shù)g（x）的圖象恰為f（x）在點(diǎn)P(1，-

1

12

)處的切線，則g（x）為函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：承托函數(shù)說明函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）的上方（至多有一個(gè)交點(diǎn)）
①舉反例：f（x）=2x+3的定義域和值域都是R，存在一個(gè)承托函數(shù)y=2x+1，故命題①不正確；
②舉反例：當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不滿足f（x）≥g（x），說明g（x）=2x不是函數(shù)f（x）=2^x的一個(gè)承托函數(shù)；
③可以用導(dǎo)數(shù)工具證明在R上 f（x）≥g（x）成立，故g（x）=ex為函數(shù)f（x）=e^x的一個(gè)承托函數(shù)；
④函數(shù)f（x）在點(diǎn)P(1，-

1

12

)處的切線穿過函數(shù)f（x）圖象，不滿足承托函數(shù)定義．因此不難得出答案．

解答：解：
①f（x）=2x+3的定義域和值域都是R，存在一個(gè)承托函數(shù)y=2x+1，故命題①不正確；
②舉反例：當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不滿足f（x）≥g（x），比如x=

3

2

時(shí)，f(

3

2

)=

8

＜g(

3

2

) =9，
說明g（x）=2x不是函數(shù)f（x）=2^x的一個(gè)承托函數(shù)，故命題②不正確；
③令F（x）=f（x）-g（x）=e^x-ex，F(xiàn)′（x）=e^x-e=0，得x=1，
當(dāng)x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）取最小值=e¹-e=0，∴③正確；
④f（x）在點(diǎn)P(1，-

1

12

)處的切線方程為y=

1

24

x-

1

24

=g（x），
取x=10，可以算得f（10）＜0＜g（10），g（x）不是函數(shù)f（x）的一個(gè)承托函數(shù)．命題④不正確．
故選B．

點(diǎn)評：新定義題，考查對題意的理解和轉(zhuǎn)化的能力，要說明一個(gè)命題是正確的，必須給出證明，如③，對于不正確的命題，舉反例即可，如①②④，屬基礎(chǔ)題．