Question

【題目】如甲圖所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中點，將△ADE沿AE折起到△D1AE位置，使平面D1AE⊥平面ABCE，得到乙圖所示的四棱錐D1﹣ABCE．
（Ⅰ）求證：BE⊥平面D1AE；
（Ⅱ）求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）如圖，取AE中點F，連D1F， 在△AD1E中，∵D1A=D1E=2，∴D1F⊥AE，
又∵平面D1AE⊥平面ABCE，∴D1F⊥平面ABCE，
∵BE平面ABCE，∴D1F⊥BE．
在△ABE中，可得 ，BE=2 ，AB=4，
∴BE⊥AE，又∵D1F∩AE=F，
∴BE⊥平面D1AE；
（Ⅱ）解：由題意，取AB中點G，以E為坐標原點，分別以EG，EC為x，y軸正方向建立空間直角坐標系E﹣xyz．

如圖所示，則E（0，0，0），C（0，2，0）D1（1，﹣1， ），B（2，2，0），
由（Ⅰ）知： 是平面AD1E的法向量，
設平面CED1的法向量為 ，則
，令z=1，則x=﹣ ，y=0，
∴ ，
設二面角A﹣D1E﹣C的平面角為θ，
則|cosθ|=|cos＜ ＞|=| |= ．
由圖可知，二面角A﹣D1E﹣C的平面角為鈍角，
∴cos ，
即二面角A﹣D1E﹣C的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）取AE中點F，連D1F，求解三角形可得D1F⊥AE，又平面D1AE⊥平面ABCE，利用面面垂直的性質可得D1F⊥平面ABCE，從而得到D1F⊥BE．在△ABE中，可得BE⊥AE，再利用線面垂直的判定可得BE⊥平面D1AE；（Ⅱ）由題意，取AB中點G，以E為坐標原點，分別以EG，EC為x，y軸正方向建立空間直角坐標系E﹣xyz．求出所用點的坐標，得到平面AD1E與平面CED1的法向量．利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想即可以解答此題．