數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=
an+2
an+1

（I）求證：1＜an＜2（n∈N*，n≥2），
（Ⅱ）令bn=|an-
2
|
（1）求證：{bn}是遞減數(shù)列；
（2）設(shè){bn}的前n項和為Sn，求證：Sn＜
2(2
2
-1)
7
．
分析：（I）先由遞推式求出a2，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（Ⅱ）（1）通過作商證明
bn+1
bn
＜1；（2）由（1）可得
bn+1
bn
＜
2
-1
2
，即bn+1＜
2
-1
2
bn，利用迭代法可得bn＜
2
-1
2
bn-1＜(
2
-1
2
)2bn-2＜…＜(
2
-1
2
)n-1b1=（
2
-1）(
2
-1
2
)n-1，
利用該結(jié)論及等比數(shù)列前n項和公式可證明結(jié)論；
解答：解：（Ⅰ）a1=1，a2=
1+2
1+1
=
3
2
，
（1）n=2時，1＜a2=
3
2
＜2，∴n=2時不等式成立；
（2）假設(shè)n=k（k∈N*，k≥2）時不等式成立，即1＜ak＜2，
ak+1=1+
1
ak+1
，
∴
4
3
＜ak+1＜
3
2
，
∴n=k+1時不等式成立，
由（1）（2）可知對n∈N*，n≥2都有1＜an＜2；
（Ⅱ）（1）
bn+1
bn
=
|an+1-
2
|
|an-
2
|
=
|
an+2
an+1
-
2
|
|an-
2
|

=
1
|an+1|
•
|an+2-
2
an-
2
|
|an-
2
|

=
1
|an+1|
•
|an(1-
2
)+
2
(
2
-1)|
|an-
2
|
=
|
2
-1|
|an+1|
，
又
|
2
-1|
|an+1|
＜
2
-1
2
＜1，
∴{bn}是遞減數(shù)列；
（2）由（1）知：
bn+1
bn
＜
2
-1
2
，∴bn+1＜
2
-1
2
bn，
則bn＜
2
-1
2
bn-1＜(
2
-1
2
)2bn-2＜…＜(
2
-1
2
)n-1b1=（
2
-1）(
2
-1
2
)n-1，
所以Sn=b1+b2+b3+…+bn＜（
2
-1）[1+
2
-1
2
+(
2
-1
2
)2+…+(
2
-1
2
)n-1]
=(
2
-1)
1-(
2
-1
2
)n
1-
2
-1
2

=
2(
2
-1)(3+
2
)
7
[1-(
2
-1
2
)n]＜
2(2
2
-1)
7
．
點評：本題考查數(shù)列遞推式、數(shù)列的函數(shù)特性、等比數(shù)列前n和公式、數(shù)學(xué)歸納法等知識，考查學(xué)生的推理證明能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c為實數(shù)，且c≠0．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=
an+3
2
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若an+1=an，求a的值；
（Ⅱ）當a=
1
2
時，證明：an＜
3
2
；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{an-1}的前n項之積為Tn．若對任意正整數(shù)n，總有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•天津模擬）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c為實數(shù)，且c≠0．
（1）求證：a≠1時數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列，并求an；
（2）設(shè)a=
1
2
c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；
（3）設(shè)a=
3
4
，c=-
1
4
，cn=
3+an
2-an
(n∈N*)，記dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{dn}的前n項和為Tn，求證：對任意正整數(shù)n都有Tn＜
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•大連二模）已知a為實數(shù)，數(shù)列{an}滿足a1=a，當n≥2時，an=
an-1-4 (an-1＞4)
5-an-1 (an-1≤4)

（I）當a=200時，填寫下列表格；
N 2 3 51 200
an
（II）當a=200時，求數(shù)列{an}的前200項的和S200；
（III）令b n=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2…+bn求證：當1＜a＜
5
3
時，T n＜
5-3a
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知常數(shù)a、b都是正整數(shù)，函數(shù)f(x)=
x
bx+1
（x＞0），數(shù)列{an}滿足a1=a，
1
an+1
=f(
1
an
)（n∈N*）
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若a=8b，且等比數(shù)列{bn}同時滿足：①b1=a1，b2=a5；②數(shù)列{bn}的每一項都是數(shù)列{an}中的某一項．試判斷數(shù)列{bn}是有窮數(shù)列或是無窮數(shù)列，并簡要說明理由；
（3）對問題（2）繼續(xù)探究，若b2=am（m＞1，m是常數(shù)），當m取何正整數(shù)時，數(shù)列{bn}是有窮數(shù)列；當m取何正整數(shù)時，數(shù)列{bn}是無窮數(shù)列，并說明理由．

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