【題目】已知集合，，，令表示集合所含元素的個數(shù).

（1）寫出的值；

（2）當時，寫出的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【答案】（1）13

（2）

【解析】

試題（1）根據(jù)題意按分類計數(shù)：共13個（2）由（1）知，所以當時，的表達式要按除的余數(shù)進行分類，最后不難利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明

試題解析：（1）．

（2）當時，（）．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當時，，結(jié)論成立；

②假設(shè)（）時結(jié)論成立，那么時，在的基礎(chǔ)上新增加的元素在，，中產(chǎn)生，分以下情形討論：

1）若，則，此時有

，結(jié)論成立；

2）若，則，此時有

，結(jié)論成立；

3）若，則，此時有

，結(jié)論成立；

4）若，則，此時有

，結(jié)論成立；

5）若，則，此時有

，結(jié)論成立；

6）若，則，此時有

，結(jié)論成立．

綜上所述，結(jié)論對滿足的自然數(shù)均成立．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，圓C1和C2的參數(shù)方程分別是（φ為參數(shù)）和（φ為參數(shù)），以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．

（1）求圓C1和C2的極坐標方程；

（2）射線OM：θ=a與圓C1的交點為O、P，與圓C2的交點為O、Q，求|OP||OQ|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球，每種顏色的小球各有4個，分別編號為1，2，3，4．現(xiàn)從袋中隨機取兩個球．

（Ⅰ）若兩個球顏色不同，求不同取法的種數(shù)；

（Ⅱ）在（1）的條件下，記兩球編號的差的絕對值為隨機變量X，求隨機變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知變量、之間的線性回歸方程為，且變量、之間的一-組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法錯誤的是（ ）

A.可以預(yù)測，當時，B.

C.變量之間呈負相關(guān)關(guān)系D.該回歸直線必過點

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“綠水青山就是金山銀山”，“建設(shè)美麗中國”已成為新時代中國特色社會主義生態(tài)文明建設(shè)的重要內(nèi)容，某班在一次研學(xué)旅行活動中，為了解某苗圃基地的柏樹幼苗生長情況，在這些樹苗中隨機抽取了120株測量高度（單位：），經(jīng)統(tǒng)計，樹苗的高度均在區(qū)間內(nèi)，將其按，，，，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.據(jù)當?shù)匕貥涿缟L規(guī)律，高度不低于的為優(yōu)質(zhì)樹苗.

(1)求圖中的值；

(2)已知所抽取的這120株樹苗來自于，兩個試驗區(qū)，部分數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：

試驗區(qū)

試驗區(qū)

合計

優(yōu)質(zhì)樹苗

20

非優(yōu)質(zhì)樹苗

60

合計

將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為優(yōu)質(zhì)樹苗與，兩個試驗區(qū)有關(guān)系，并說明理由；

(3)通過用分層抽樣方法從試驗區(qū)被選中的樹苗中抽取5株，若從這5株樹苗中隨機抽取2株，求優(yōu)質(zhì)樹苗和非優(yōu)質(zhì)樹苗各有1株的概率.

附：參考公式與參考數(shù)據(jù)：

其中

0.010

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在對某漁業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量調(diào)研中，從甲、乙兩地出產(chǎn)的該產(chǎn)品中各隨機抽取10件，測量該產(chǎn)品中某種元素的含量（單位：毫克）.下表是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖：

規(guī)定：當產(chǎn)品中的此種元素含量毫克時為優(yōu)質(zhì)品.

（1）試用上述樣本數(shù)據(jù)估計甲、乙兩地該產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率（優(yōu)質(zhì)品件數(shù)/總件數(shù)）；

（2）從乙地抽出的上述10件產(chǎn)品中，隨機抽取3件，求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】有一種密碼，明文是由三個字符組成，密碼是由明文對應(yīng)的五個數(shù)字組成，編碼規(guī)則如下表：明文由表中每一排取一個字符組成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，對應(yīng)的密碼由明文對應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排成一排組成.


第一排

明文字符

A

B

C

D

密碼字符

11

12

13

14


第二排

明文字符

E

F

G

H

密碼字符

21

22

23

24


第三排

明文字符

M

N

P

Q

密碼字符

1

2

3

4

設(shè)隨機變量表示密碼中不同數(shù)字的個數(shù)．

(Ⅰ)求； (Ⅱ)求隨機變量的分布列和它的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為（β為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．

（1）求曲線C1和C2的極坐標方程；

（2）若點A在曲線C1上，點B在曲線C2上，且∠AOB，求|OA||OB|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于數(shù)列{an}，若從第二項起的每一項均大于該項之前的所有項的和，則稱{an}為P數(shù)列.

（1）若{an}的前n項和Sn＝3n+2，試判斷{an}是否是P數(shù)列，并說明理由；

（2）設(shè)數(shù)列a1，a2，a3，…，a10是首項為﹣1、公差為d的等差數(shù)列，若該數(shù)列是P數(shù)列，求d的取值范圍；

（3）設(shè)無窮數(shù)列{an}是首項為a、公比為q的等比數(shù)列，有窮數(shù)列{bn}，{cn}是從{an}中取出部分項按原來的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項和分別為T1，T2，求{an}是P數(shù)列時a與q所滿足的條件，并證明命題“若a＞0且T1＝T2，則{an}不是P數(shù)列”.

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