Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）如圖，點(diǎn)是拋物線上異于原點(diǎn)的點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）求出拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義，得到，即可求解拋物線的方程．

（2）求出函數(shù)的．設(shè)點(diǎn)，得到拋物線在點(diǎn)處的切線方程為．求出．推出直線的方程，點(diǎn)到直線的距離，聯(lián)立求出，表示出的面積，構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用單調(diào)性求解最值即可．

（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，

因?yàn)?/span>，由拋物線定義，知，

所以，即，

所以拋物線的方程為．

（2）因?yàn)?/span>，所以．

設(shè)點(diǎn)，則拋物線在點(diǎn)處的切線方程為．

令，則，即點(diǎn)．

因?yàn)?/span>所以直線PF的方程為，即．

則點(diǎn)到直線的距離為．

聯(lián)立方程消元，得．

因?yàn)?/span>，

所以，

所以.

所以的面積為．

不妨設(shè)，則．

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)上，，所以在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，．

所以的面積的最小值為．