Question

(08年安徽卷理) (本小題滿分13分)

設(shè)橢圓過點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ)當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足。證明：點(diǎn)Q總在某定直線上。

Answer 1

【解析】本題主要考查直線、橢圓的方程及幾何性質(zhì)、線段的定比分點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和分析問題、解決問題的能力.本小題滿分13分.（Ⅰ）由題意：，解得.

所求的求橢圓的方程.

（Ⅱ)方法一：設(shè)點(diǎn)，，，由題設(shè)，、、、均不為0，且，又四點(diǎn)共線，可設(shè)，，于是

       ，…………………………………①

，…………………………………②

由于，在橢圓上，將①②分別帶入的方程，整理得：

………………③

………………④

由④-③得   .

∵，∴.即點(diǎn)總在直線上.

方法二：設(shè)點(diǎn)，，，由題設(shè)，、、、均不為0，記，則且.

又四點(diǎn)共線，從而，，于是：

，；

，.

從而……………①    ……………②

又點(diǎn)在橢圓上，即

………………③

………………④

①+2②并結(jié)合③，④得，即點(diǎn)總在直線上.