Question

【題目】設(shè)a，b∈R，且a≠2，定義在區(qū)間（﹣b，b）內(nèi)的函數(shù)f（x）=lg 是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求b的取值范圍；
（3）用定義討論并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=lg 是奇函數(shù)等價于：

對任意的x∈（﹣b，b），都有f（﹣x）=﹣f（x），

即 = ，

即（a2﹣4）x2=0對任意x∈（﹣b，b）恒成立，

∴a2﹣4=0

又a≠2，

∴a=﹣2

（2）解：由（1）得： ＞0對任意x∈（﹣b，b）恒成立，

解 ＞0得：x∈（﹣ ， ）．

則有（﹣ ， ）（﹣b，b），

解得：b∈（0， ]

（3）解：任取x1，x2∈（﹣b，b），令x1＜x2，

則x1，x2∈（﹣ ， ），

∴1﹣2x1＞1﹣2x2＞0，

1+2x2＞1+2x1＞0，

即（1+2x2）（1﹣2x1）＞（1﹣2x2）（1+2x1）＞0，

即 ＞1，

f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＞0，

則f（x1）＞f（x2）

∴f（x）在（﹣b，b）內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)

【解析】（1）函數(shù)f（x）=lg 是奇函數(shù)等價于：對任意的x∈（﹣b，b），都有f（﹣x）=﹣f（x），即（a2﹣4）x2=0對任意x∈（﹣b，b）恒成立，解得a的值；（2）解 ＞0得：x∈（﹣ ， ）．則有（﹣ ， ）（﹣b，b），解得b的取值范圍；（3）任取x1 ， x2∈（﹣b，），令x1＜x2 ， 判斷f（x1），f（x2）的大小，根據(jù)定義，可得答案．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．