【題目】在平面直角坐標系中,橢圓:過點,,為橢圓的左、右焦點,離心率為,圓的直徑為.
(1)求橢圓及圓的方程;
(2)設(shè)直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點.
①若直線與橢圓有且只有一個公共點,求點的坐標;
②若直線與橢圓交于,兩點,且的面積為,求直線的方程.
【答案】(1)橢圓:;圓:(2)① ,②
【解析】
(1)根據(jù)橢圓所過定點及離心率,結(jié)合橢圓中的關(guān)系,即可求得橢圓的標準方程;求得圓的圓心和半徑,即可得圓的方程.
(2)①根據(jù)橢圓與圓的位置關(guān)系,可知當直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點,且直線與橢圓有且只有一個公共點時,直線的斜率必小于0.設(shè)出直線方程,由直線與圓相切及點到直線距離公式,可得與的等量關(guān)系.聯(lián)立直線方程與橢圓方程,由一個交點時可得與的等量關(guān)系.建立方程組可得與的值,即可求得直線方程.將直線方程與圓的方程聯(lián)立,即可求得切點坐標.
②設(shè),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,可得,,由兩個交點時可求得的取值范圍.利用弦長公式表示出,由點到直線距離公式表示出到直線的距離.結(jié)合的面積為即可得與的等量關(guān)系.解方程求得與的值,即可求得直線方程.
(1)橢圓:過點,離心率
所以,解方程組可得
故橢圓的方程為
圓的直徑為,則圓心為,半徑為
所以圓的方程為
(2)①橢圓的方程為,圓的方程為,如下圖所示:
直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點,且直線與橢圓有且只有一個公共點,
所以直線與橢圓也相切,且切點在第一象限,切點的縱坐標小于點的縱坐標
因而直線的斜率小于0
設(shè)直線的方程為,即
因為直線與圓相切,則圓心到直線的距離為圓的半徑,即,
化簡可得
因為直線與橢圓也相切,則
化簡可得
則
解得
所以
解得,(舍)
則
所以直線的方程為
則,化簡可得
解得
所以切點的坐標為
②直線與橢圓交于,兩點,設(shè)
聯(lián)立直線與橢圓,則
化簡可得
則
由題意可知
化簡解不等式可得
由弦長公式可得
由點到直線距離公式可知到直線的距離
則
將,即代入可解得
即,(舍),則
所以直線的方程為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的焦距為,點在橢圓上.
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點,且直線,,的斜率之和為0.
①求證:直線經(jīng)過定點,并求出定點坐標;
②求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】英國統(tǒng)計學(xué)家E.H.辛普森1951年提出了著名的辛普森悖論,下面這個案例可以讓我們感受到這個悖論.有甲乙兩名法官,他們都在民事庭和行政庭主持審理案件,他們審理的部分案件被提出上訴.記錄這些被上述案件的終審結(jié)果如下表所示(單位:件):
法官甲 | 法官乙 | ||||||
終審結(jié)果 | 民事庭 | 行政庭 | 合計 | 終審結(jié)果 | 民事庭 | 行政庭 | 合計 |
維持 | 29 | 100 | 129 | 維持 | 90 | 20 | 110 |
推翻 | 3 | 18 | 21 | 推翻 | 10 | 5 | 15 |
合計 | 32 | 118 | 150 | 合計 | 100 | 25 | 125 |
記甲法官在民事庭、行政庭以及所有審理的案件被維持原判的比率分別為,和,記乙法官在民事庭、行政庭以及所有審理的案件被維持原判的比率分別為,和,則下面說法正確的是
A. ,,B. ,,
C. ,,D. ,,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池,其容積為,深3m.如果池底每平方米的造價為200元,池壁每平方米的造價為150元,怎樣設(shè)計水池能使總造價最低?最低總造價是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
如圖,在平面直角坐標系xOy中,平行于x軸且過點A(3,2)的入射光線 l1
被直線l:y=x反射.反射光線l2交y軸于B點,圓C過點A且與l1, l2 都相切.
(1)求l2所在直線的方程和圓C的方程;
(2)設(shè)分別是直線l和圓C上的動點,求的最小值及此時點的坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當量直徑小于或等于微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.根據(jù)現(xiàn)行國家標準,日均值在微克/立方米以下,空氣質(zhì)量為一級;在微克應(yīng)立方米微克立方米之間,空氣質(zhì)量為二級:在微克/立方米以上,空氣質(zhì)量為超標.從某市年全年每天的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值頻數(shù)如下表:
日均值 (微克/立方米) | ||||||
頻數(shù)(天) |
(1)從這天的日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機抽出天,求恰有天空氣質(zhì)量達到一級的概率;
(2)從這天的數(shù)據(jù)中任取天數(shù)據(jù),記表示抽到監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù),求的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位同學(xué)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn),在培訓(xùn)期間他們參加5項預(yù)賽,成績?nèi)缦拢?/span>
甲:78 76 74 90 82
乙:90 70 75 85 80
(Ⅰ)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);
(Ⅱ)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽,從平均數(shù)、方差的角度考慮,你認為選派哪位學(xué)生參加合適?說明理由.
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