【題目】已知雙曲線=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為2x+y=0,且頂點到漸近線的距離為.
(1)求此雙曲線的方程;
(2)設P為雙曲線上一點,A,B兩點在雙曲線的漸近線上,且分別位于第一、二象限,若,求△AOB的面積.
【答案】(1)-x2=1;(2)2.
【解析】
(1)利用一條漸近線的離心率為2,和頂點到漸近線的距離列出兩個等式結合求得可得雙曲線方程;
(2)設A(m,2m),B(-n,2n),其中m>0,n>0,說明P是AB的中點,由中點坐標公式得P點坐標,代入雙曲線方程可求得,設∠AOB=2θ,則有tan=2,由此可求得sin 2θ,再有|OA|=m,|OB|=n,面積易求.
(1)依題意得解得
故雙曲線的方程為-x2=1.
(2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y=±2x,設A(m,2m),B(-n,2n),其中m>0,n>0,由得點P的坐標為.
將點P的坐標代入-x2=1,
整理得mn=1.
設∠AOB=2θ,∵tan=2,
則tan θ=,從而sin 2θ=.
又|OA|=m,|OB|=n,
∴S△AOB=|OA|·|OB|sin 2θ=2mn=2.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學為了豐富學生的課外文體活動,分別開設了閱讀、書法、繪畫等文化活動;跑步、游泳、健身操等體育活動.該中學共有高一學生300名,要求每位學生必須選擇參加其中一項活動,現(xiàn)對高一學生的性別、學習積極性及選擇參加的文體活動情況進行統(tǒng)計,得到數(shù)據(jù)如下:
(1)在選擇參加體育活動的學生中按性別分層抽取6名,再從這6名學生中抽取2人了解家庭情況,求2人中至少有1名女生的概率;
(2)是否有99.9%的把握認為學生的學習積極性與選擇參加文化活動有關?請說明你的理由.
附:參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線和,過拋物線上一點作兩條直線與分別相切于兩點,分別交拋物線于兩點.
(1)當的角平分線垂直軸時,求直線的斜率;
(2)若直線在軸上的截距為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點為棱上一動點(不包括頂點),平面交于點,則下列結論中錯誤的是( )
A.存在點,使得四邊形為菱形
B.存在點,使得四邊形的面積最小
C.存在點,使得平面
D.存在點,使得平面平面(其中為的中點)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知某班的50名學生進行不記名問卷調(diào)查,內(nèi)容為本周使用手機的時間長,如表:
時間長(小時) | |||||
女生人數(shù) | 4 | 11 | 3 | 2 | 0 |
男生人數(shù) | 3 | 17 | 6 | 3 | 1 |
(1)求這50名學生本周使用手機的平均時間長;
(2)時間長為的7名同學中,從中抽取兩名,求其中恰有一個女生的概率;
(3)若時間長為被認定“不依賴手機”,被認定“依賴手機”,根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表:
不依賴手機 | 依賴手機 | 總計 | |
女生 | |||
男生 | |||
總計 |
能否在犯錯概率不超過0.15的前提下,認為學生的性別與依賴手機有關系?
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某自來水公司要在公路兩側(cè)安裝排水管,公路為東西方向,在路北側(cè)沿直線排,在路南側(cè)沿直線排,現(xiàn)要在矩形區(qū)域內(nèi)沿直線將與接通.已知,,公路兩側(cè)排水管費用為每米1萬元,穿過公路的部分的排水管費用為每米2萬元,設與所成的小于的角為.
(Ⅰ)求矩形區(qū)域內(nèi)的排水管費用關于的函數(shù)關系;
(Ⅱ)求排水管的最小費用及相應的角.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、,焦距為,直線:與橢圓相交于、兩點,關于直線的對稱點在橢圓上.斜率為的直線與線段相交于點,與橢圓相交于、兩點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求四邊形面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】十九大提出,加快水污染防治,建設美麗中國根據(jù)環(huán)保部門對某河流的每年污水排放量單位:噸的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù),得到如下頻率分布表:
污水量 |
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頻率 |
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將污水排放量落入各組的頻率作為概率,并假設每年該河流的污水排放量相互獨立.
(Ⅰ)求在未來3年里,至1年污水排放量的概率;
(Ⅱ)該河流的污水排放對沿河的經(jīng)濟影響如下:當時,沒有影響;當時,經(jīng)濟損失為10萬元;當時,經(jīng)濟損失為60萬元為減少損失,現(xiàn)有三種應對方案:
方案一:防治350噸的污水排放,每年需要防治費萬元;
方案二:防治310噸的污水排放,每年需要防治費2萬元;
方案三:不采取措施.
試比較上述三種方案,哪種方案好,并請說明理由.
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