Question

已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為

3

2

，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，橢圓G上一點(diǎn)到F₁和F₂的距離之和為12．圓C：x²+y²+2x-4y-20=0的圓心為點(diǎn)A．
（1）求橢圓G的方程；  
（2）求△AF₁F₂面積；
（3）求經(jīng)過點(diǎn)（-3，4）且與圓C相切的直線方程；
（4）橢圓G是否在圓C的內(nèi)部，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率為

3

2

，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，橢圓G上一點(diǎn)到F₁和F₂的距離之和為12，求出幾何量，即可求出橢圓的方程；
（2）確定A的坐標(biāo)，即可求△AF₁F₂面積；
（3）確定圓的圓心坐標(biāo)與半徑，即可求經(jīng)過點(diǎn)（-3，4）且與圓C相切的直線方程；
（4）確定橢圓的頂點(diǎn)（6，0）在圓外，k＜0時(shí)，（-6，0）在圓C_k外，即可判斷橢圓G是否在圓C的內(nèi)部．

解答：解：（1）設(shè)橢圓G的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），半焦距為c，
則

2a=12 c a = 3 2

，解得

a=6 c=3 3

，∴b²=a²-c²=36-27=9
所求橢圓G的方程為：

x2

36

+

y2

9

=1；
（2 ）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，2），所以 S△AF1F2=

1

2

×F1F2×2=

1

2

×6

3

×2=6

3

；
（3）由題意，圓C：x²+y²+2x-4y-20=0可化為：（x+1）²+（y-2）²=25，圓心坐標(biāo)為（-1，2），半徑為5，
所以經(jīng)過點(diǎn)（-3，4）且與圓C相切的直線方程為x=-3，y=4；    
（4）把點(diǎn)（6，0）代入圓C方程可知道，（6，0）在圓C外，
若k＜0，由（-6）²+0²-12k-0-21=5-12k＞0，可知點(diǎn)（-6，0）在圓C_k外，
∴不論k為何值，圓C_k都不能包圍橢圓G．

點(diǎn)評(píng)：本題考查考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．