【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,B1,B2是橢圓的短軸端點,P是橢圓上異于點B1,B2的一動點.當直線PB1的方程為時,線段PB1的長為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設點Q滿足: .求證:△PB1B2與△QB1B2的面積之比為定值.
【答案】(1) ;(2)證明見解析.
【解析】試題分析:設, ,(1)根據(jù)直線的方程為時,線段的長為,可分別求得和,從而求得橢圓的標準方程;(2)方法一:直線的斜率為,由得直線的斜率為,即可分別表示出直線和直線的方程,聯(lián)立直線方程,得,從而可得;方法二:設直線, 的斜率為, ,則直線的方程為,由得直線的方程為,將直線的方程代入橢圓方程,從而求得,再由在橢圓上,得與的數(shù)量關(guān)系,從而表示出直線的方程,即可求得,進而求得.
試題解析:設, .
(1)在中,令,得,從而b3.
由得.
∴.
∵
∴,解得.
∴橢圓的標準方程為.
(2)方法一:
直線的斜率為,由,則直線的斜率為.
于是直線的方程為: .
同理, 的方程為: .
聯(lián)立兩直線方程,消去y,得.
∵在橢圓上
∴,從而.
∴.
∴.
方法二:
設直線, 的斜率為k, ,則直線的方程為.
由直線的方程為.
將代入,得,
∵是橢圓上異于點, 的點
∴,從而 .
∵在橢圓上
∴,從而.
∴,得.
由,所以直線的方程為.
聯(lián)立則,即.
∴.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設是一個非空集合, 是定義在上的一個運算.如果同時滿足下述四個條件:
(1)對于,都有;
(2)對于,都有;
(3)對于,使得;
(4)對于,使得(注:“”同(iii)中的“”).
則稱關(guān)于運算構(gòu)成一個群.現(xiàn)給出下列集合和運算:
①是整數(shù)集合, 為加法;②是奇數(shù)集合, 為乘法;③是平面向量集合, 為數(shù)量積運算;④是非零復數(shù)集合, 為乘法. 其中關(guān)于運算構(gòu)成群的序號是___________(將你認為正確的序號都寫上).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
()當時,求曲線在點處的切線方程.
()如果函數(shù)在上單調(diào)遞減,求的取值范圍.
()當時,討論函數(shù)零點的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.我國標準采用世界衛(wèi)生組織設定的最寬限值,即日均值在以下空氣質(zhì)量為優(yōu);在之間空氣質(zhì)量為良;在之間空氣質(zhì)量為輕度污染.某市環(huán)保局從該市2018年上半年每天的日均值數(shù)據(jù)中隨機抽取20天的數(shù)據(jù)作為樣本,將日均值統(tǒng)計如下:
日均值() | |||||
天數(shù) | 4 | 6 | 5 | 3 | 2 |
(1)在空氣質(zhì)量為輕度污染的數(shù)據(jù)中,隨機抽取兩天日均值數(shù)據(jù),求其中恰有一天日均值數(shù)據(jù)在之間的概率;
(2)將以上樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(直接作圖):
(3)該市規(guī)定:全年日均值的平均數(shù)不高于,則認定該市當年的空氣質(zhì)量達標.現(xiàn)以這20天的日均值的平均數(shù)來估計2018年的空氣質(zhì)量情況,試預測該市2018年的空氣質(zhì)量是否達標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司有員工1000名,平均每人每年創(chuàng)造利潤10萬元.為了增加企業(yè)競爭力,決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu),調(diào)整出名員工從事第三產(chǎn)業(yè),調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤為萬元(),剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高.
(1)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤,則調(diào)整員工從事第三產(chǎn)業(yè)的人數(shù)應在什么范圍?
(2)在(1)的條件下,若調(diào)整出的員工創(chuàng)造的年總利潤始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學團委組織了“紀念抗日戰(zhàn)爭勝利73周年”的知識競賽,從參加競賽的學生中抽出60名學生,將其成績(均為整數(shù))分成六段,,…,后,畫出如圖所示的部分頻率分布直方圖.觀察圖形給出的信息,回答下列問題:
(1)求第四組的頻率,并補全這個頻率分布直方圖;
(2)估計這次競賽的及格率(60分及以上為及格)和平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形CDEF是正方形,四邊形ABCD為直角梯形,∠ADC=90°,AB∥DC,平面CDEF⊥平面ABCD,AB=ADCD=a,M在FB上,且BD∥平面ECM.
(1)求證:M為BF中點;
(2)求證:平面BCF⊥平面EMC;
(3)求直線CD與平面ECM所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列中,a1=2,a3+2是a2和a4的等差中項.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)記=log2,求數(shù)列的前n項和.
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