Question

（本題滿分14分）在數(shù)列中，，其中．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；
（Ⅲ）證明存在，使得對任意均成立．

Answer 1

解：（Ⅰ）解法一：， ，
．由此可猜想出數(shù)列的通項公式為．
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）當時，，等式成立．
（2）假設(shè)當時等式成立，即，
那么．
這就是說，當時等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何都成立．
解法二：由，，可得，
所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項為0，故，所以數(shù)列的通項公式為．
（Ⅱ）解：設(shè)，　　�、�
　　　　　　　　  ②
當時，①式減去②式，
得，
．
這時數(shù)列的前項和．
當時，．這時數(shù)列的前項和．
（Ⅲ）證明：通過分析，推測數(shù)列的第一項最大，下面證明：
．　　　　③
由知，要使③式成立，只要，
因為

．
所以③式成立．
因此，存在，使得對任意均成立．

略