Question

（2012•奉賢區(qū)二模）函數(shù)f（x）=lg（

4x2+b

+2x），其中b＞0
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求b的值；
（2）在（1）的條件下，判別函數(shù)y=f（x）的圖象是否存在兩點(diǎn)A，B，使得直線AB平行于x軸，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，得f（x）=lg

b

=0，解之得b=1，再代入原函數(shù)加以檢驗(yàn)即可．
（2）用反證法的思想，假設(shè)存在 A、B兩點(diǎn)，使得AB平行x軸，則k_AB=0，結(jié)合函數(shù)表達(dá)式，化簡整理得4x₁²+4x₂²+1=0，與平方大于或等于0矛盾．由此可得假設(shè)不成立，所以函數(shù)圖象上不存在兩點(diǎn)A，B，使得直線AB平行于x軸．

解答：解：（1）∵b＞0，∴

4x2+b

＞|2x|≥-2x，可得

4x2+b

+2x＞0恒成立，
所以函數(shù)f（x）=lg（

4x2+b

+2x）的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對稱      …（2分）
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=0，得lg

b

=0，所以b=1                                  
此時(shí) f（x）=lg（

4x2+1

+2x），可得 f（-x）=lg（

4x2+1

-2x ）
∴f（x）+f（-x）=lg[（

4x2+1

+2x）（

4x2+1

-2x ）]=lg1=0
因此，f（-x）=-f（x），函數(shù)是奇函數(shù)，符合題意．
所以，實(shí)數(shù)b的值為1…（5分）
（2）假設(shè)存在A、B兩點(diǎn)，使得AB平行x軸，則k_AB=0     …（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得k_AB=

y1-y2

x1-x2

=0，即y₁=y₂，
∴結(jié)合函數(shù)表達(dá)式，得lg（

4x12+1

+2x1）=lg（

4x22+1

+2x2）       …（7分）
可得

4x12+1

-

4x22+1

=2x2-2x1
兩邊平方化簡得到：（x₁-x₂）²=0，得x₁=x₂，與題設(shè)x₁≠x₂矛盾  …（10分）
∴原假設(shè)不成立，即y=f（x）的圖象上不存在兩點(diǎn)，使得所連的直線與x軸平行             …（11分）

點(diǎn)評：本題給出含有根式的對數(shù)型函數(shù)，討論函數(shù)的奇偶性和圖象．考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等知識，屬于中檔題．