Question

【題目】如圖，C、D是以AB為直徑的圓上兩點(diǎn)，AB=2AD=2，AC=BC，F 是AB上一點(diǎn)，且AF=AB，將圓沿直徑AB折起，使點(diǎn)C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=．

（1）求證：AD⊥平面BCE；

（2）求證：AD∥平面CEF；

（3）求三棱錐A﹣CFD的體積．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

試題（1）依題AD⊥BD，CE⊥AD，由此能證明AD⊥平面BCE．

（2）由已知得BE=2，BD=3．從而AD∥EF，由此能證明AD∥平面CEF．

（3）由VA﹣CFD=VC﹣AFD，利用等積法能求出三棱錐A﹣CFD的體積．

（1）證明：依題AD⊥BD，

∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，

∵BD∩CE=E，

∴AD⊥平面BCE．

（2）證明：Rt△BCE中，CE=，BC=，∴BE=2，

Rt△ABD中，AB=2，AD=，∴BD=3．

∴．

∴AD∥EF，∵AD在平面CEF外，

∴AD∥平面CEF．

（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，

且ED=BD﹣BE=1，

∴F到AD的距離等于E到AD的距離為1．

∴S△FAD==．

∵CE⊥平面ABD，

∴VA﹣CFD=VC﹣AFD===．