【題目】若一個三角形的邊長與面積都是整數(shù),則稱為“海倫三角形”;三邊長互質(zhì)的海倫三角形,稱為“本原海倫三角形”;邊長都不是3的倍數(shù)的本原海倫三角形,稱為“奇異三角形”.
(1)求奇異三角形的最小邊長的最小值;
(2)求證:等腰的奇異三角形有無數(shù)個;
(3)問:非等腰的奇異三角形有多少個?
【答案】(1)5;(2)見解析;(3)見解析
【解析】
(1)設、、()是一個奇異三角形的三邊長.則由海海倫公式知
. ①
因為,所以,、、中至少有一個為奇數(shù).如果、、中有奇數(shù)個奇數(shù),則、、、都是奇數(shù),與式①矛盾.
因此,、、中恰有兩個為奇數(shù).
若,由,知.
因為,所以,.
此時,、、中有奇數(shù)個奇數(shù),矛盾.
若,由,知.
因為,所以,或.
當時,,,因此,.
但,矛盾.
當時,、一奇一偶.
故、、中恰有一個奇數(shù),矛盾.
若,則、都是奇數(shù).
由,知.
又,于是,或.
當時,,,所以,為偶數(shù).
令.則,.
但,于是,,,故,矛盾.
當時,,所以,.令,則.
若,則,與奇異三角形矛盾.若,則,也與奇異三角形矛盾.
綜上所述,.
又(5,5,8)是奇異三角形,故奇異三角形的最小邊長的最小值為5.
(2)若、,,、一奇一偶,則是奇異三角形.
事實上,為整數(shù).
其次,因、一奇一偶,則.
故.
最后,因為,且,故、中恰有一個是3的倍數(shù),所以,、都不是3的倍數(shù).
特別地,取,.則是奇異三角形.
類似知,若、,,,,、一奇一偶,則是奇異三角形.
特別地,取,,則是奇異三角形.
(3)非等腰的奇異三角形亦有無數(shù)個.
取,令,,.
因為為奇數(shù),所以,、、為整數(shù),且顯然有.
又因為不是3的倍數(shù),所以,、、都不是3的倍數(shù).
最后,由于,于是,、都不是5的倍數(shù),進而,由,知.
經(jīng)計算可得為整數(shù).
所以,(、、)是非等腰奇異三角形.
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【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,橢圓的一個頂點為,右焦點到直線的距離為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若過作兩條互相垂直的直線,且交橢圓于、兩點,交橢圓于、兩點,求四邊形的面積的取值范圍.
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【題目】
已知雙曲線設過點的直線l的方向向量
(1) 當直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時,求直線l的方程及l與m的距離;
(2) 證明:當>時,在雙曲線C的右支上不存在點Q,使之到直線l的距離為.
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【題目】為了考察冰川的融化狀況,一支科考隊在某冰川山上相距8km的A、B兩點各建一個考察基地,視冰川面為平面形,以過A、B兩點的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系(圖4).考察范圍到A、B兩點的距離之和不超過10km的區(qū)域.
(I)求考察區(qū)域邊界曲線的方程:
(II)如圖4所示,設線段是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界),當冰川融化時,邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動,第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年的2倍.問:經(jīng)過多長時間,點A恰好在冰川邊界線上?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】三個圓交于一點,又兩兩將于點、、.以為圓心的一個圓與上述三個圓分別交于點,,,其中,點在不含點的圓上,等等.又設、、的外接圓交于一點, 、的外接圓交于一點.證明:.
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【題目】橢圓的左、右焦點分別為,,橢圓上一點與,的距離之和為,且焦距是短軸長的2倍.
(1)求橢圓的方程;
(2)過線段上一點的直線(斜率不為0)與橢圓相交于,兩點,當的面積與的面積之比為時,求面積的最大值.
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【題目】p:關(guān)于x的方程無解,q:()
(1)若時,“”為真命題,“”為假命題,求實數(shù)a的取值范圍.
(2)當命題“若p,則q”為真命題,“若q,則p”為假命題時,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】設橢圓的右頂點為,上頂點為.已知橢圓的離心率為,.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設直線:與橢圓交于,兩點,且點在第二象限.與延長線交于點,若的面積是面積的3倍,求的值.
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【題目】(1)若等比數(shù)列的前n項和為,求實數(shù)a的值;
(2)對于非常數(shù)數(shù)列有下面的結(jié)論:若數(shù)列為等比數(shù)列,則該數(shù)列的前n項和為(為常數(shù)).寫出它的逆命題并判斷真假,請說明理由;
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