Question

（2013•濟南一模）已知在如圖的多面體中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE=AD=EF=

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BC，G是BC的中點．
（1）求證：AB∥平面DEG；
（2）求證：EG⊥平面BDF．

Answer 1

分析：（1）利用平行四邊形的判定定理即可得到四邊形ADGB是平行四邊形，利用其性質(zhì)即可得到AB∥DG，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用平行四邊形的判定定理可得四邊形AEFD是平行四邊形，得到DF∥AE，由AE⊥底面BEFC，利用線面垂直的性質(zhì)可得DF⊥底面BEFC．得到DF⊥EG．再證明四邊形BEFG是菱形，
即可得到EG⊥BF，利用線面垂直的判定即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）∵AD∥EF∥BC，AD=EF=

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BC，G是BC的中點．
∴AD

∥

.

BG，
∴四邊形ADGB是平行四邊形，
∴AB∥DG，
∵AB?平面DEG，DG?平面DEG．
∴AB∥平面DEG；
（2）∵AD∥EF，AD=EF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴DF∥AE，
∵AE⊥底面BEFC，∴DF⊥底面BEFC．
∴DF⊥EG．
連接FG，∵EF=

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BC，G是BC的中點，EF∥BC，
∴四邊形BEFG是平行四邊形，
又∵BE=EF，∴四邊形BEFG是菱形，
∴BF⊥EG．
∵DF∩BF=F，∴EG⊥平面BDF．

點評：熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線面平行的判定與性質(zhì)定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、菱形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．