Question

已知c＞0，設(shè)命題p：函數(shù)y=c^x為減函數(shù)；命題q：當(dāng)x∈[

1

2

，2]時(shí)，函數(shù)f（x）=x+

1

x

＞

1

c

 恒成立，如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求出命題p為真命題時(shí)，c的取值范圍，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)恒成立問題的解答思路，可求出命題q為真命題時(shí)，c的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)p∨q為真命題，p∧q為假命題，可知p與q一真一假，分類討論后，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：∵若命題p：函數(shù)y=c^x為減函數(shù)為真命題
則0＜c＜1
當(dāng)x∈[

1

2

，2]時(shí)，函數(shù)f（x）=x+

1

x

≥2，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等）
若命題q為真命題，則

1

c

＜2，結(jié)合c＞0可得c＞

1

2

∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，故p與q一真一假；
當(dāng)p真q假時(shí)，0＜c≤

1

2

當(dāng)p假q真時(shí)，c≥1
故c的范圍為（0，

1

2

]∪[1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題的真假關(guān)系的應(yīng)用，要求熟練掌握．