Question

（2009四川卷理）（本小題滿分12分）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，

（I）求證：；

（II）設(shè)線段的中點(diǎn)為，在直線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，請指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由；

（III）求二面角的大小。

Answer 1

本小題主要考察平面與平面垂直、直線與平面垂直、直線與平面平行、二面角

等基礎(chǔ)知識，考察空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)探究意識，考察應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。

解法一：

（Ⅰ）因?yàn)槠矫?sub>⊥平面,平面，

平面平面，

所以⊥平面

所以⊥.

因?yàn)?sub>為等腰直角三角形，  ，

所以

又因?yàn)?sub>，

所以，

即⊥,

所以⊥平面。     ……………………………………4分

      （Ⅱ）存在點(diǎn),當(dāng)為線段AE的中點(diǎn)時(shí)，PM∥平面

                取BE的中點(diǎn)N，連接AN,MN，則MN∥＝∥＝PC

                所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN

                因?yàn)镃N在平面BCE內(nèi)，PM不在平面BCE內(nèi)，

                所以PM∥平面BCE           ……………………………………8分

       （Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD

作FG⊥AB,交BA的延長線于G，則FG∥EA。從而，F(xiàn)G⊥平面ABCD

作GH⊥BD于G，連結(jié)FH，則由三垂線定理知，BD⊥FH

因此，∠AEF為二面角F-BD-A的平面角

因?yàn)镕A=FE, ∠AEF=45°,

所以∠AFE=90°，∠FAG=45°.

設(shè)AB=1,則AE=1,AF=.     

FG=AF·sinFAG=

在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,

GH=BG·sinGBH=·=

在Rt△FGH中，tanFHG= =

故二面角F-BD-A的大小為arctan.       ………………………………12分

解法二:

(Ⅰ)因?yàn)椤鰽BE為等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE⊥AB.

又因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,

平面ABEF∩平面ABCD=AB,

所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立 如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

設(shè)AB=1,則AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,

E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).

因?yàn)镕A=FE, ∠AEF = 45°,

所以∠AFE= 90°.

從而，.

所以,,.

,.

所以EF⊥BE, EF⊥BC.

因?yàn)锽E平面BCE,BC∩BE=B ,

所以EF⊥平面BCE.

 (Ⅱ) M（0，0，）.P（1, ,0）.

從而=（，）.

于是

所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直線PM不在平面BCE內(nèi)，

故PM∥平面BCE.                                  ………………………………8分

(Ⅲ) 設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為，并設(shè)=（x，y，z）

=(1，1，0)，

     即

去y=1，則x=1，z=3，從=（0，0，3）

取平面ABD的一個(gè)法向量為=（0，0，1）

故二面角F-BD-A的大小為.        ……………………………………12分