【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是：

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程.

（2）點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值與最小值.

【答案】（1）曲線的普通方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為

（2），

【解析】

（1）由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即可求出其普通方程；由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可求出直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）由曲線C的參數(shù)方程，先設(shè)點(diǎn)，再由點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

解：（1）∵曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

∴曲線的普通方程為

∵直線的極坐標(biāo)方程是：

∴

∴直線的直角坐標(biāo)方程為

（2）∵點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，

∴設(shè)，則到直線的距離：

，

∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線距離取最大值

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線距離取最小值

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔仔細(xì)算相還”，其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”，則該人第五天走的路程為（ ）

A. 6里B. 12里C. 24里D. 48里

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【題目】如圖，在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，與交于點(diǎn)，平面平面，，，.

（1）求證：平面；

（2）若為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.

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【題目】某書(shū)店為了了解銷(xiāo)售單價(jià)（單位：元）在]內(nèi)的圖書(shū)銷(xiāo)售情況，從2018年上半年已經(jīng)銷(xiāo)售的圖書(shū)中隨機(jī)抽取100本，獲得的所有樣本數(shù)據(jù)按照,，，，,分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知樣本中銷(xiāo)售單價(jià)在內(nèi)的圖書(shū)數(shù)是銷(xiāo)售單價(jià)在內(nèi)的圖書(shū)數(shù)的2倍．

（1）求出與，再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這100本圖書(shū)銷(xiāo)售單價(jià)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）用分層抽樣的方法從銷(xiāo)售單價(jià)在[8，20]內(nèi)的圖書(shū)中共抽取40本，求單價(jià)在6組樣本數(shù)據(jù)中的圖書(shū)銷(xiāo)售的數(shù)量；

（3）從（2）中抽取且價(jià)格低于12元的書(shū)中任取2本，求這2本書(shū)價(jià)格都不低于10元的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

（2）在（1）成立的條件下，正實(shí)數(shù)，滿足，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】自由購(gòu)是通過(guò)自助結(jié)算方式購(gòu)物的一種形式.某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購(gòu)的情況，隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下：

20以下

[20,30)

[30,40)

[40,50)

[50,60)

[60,70]

70以上

使用人數(shù)

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數(shù)

0

0

3

14

36

3

0

（Ⅰ）現(xiàn)隨機(jī)抽取1名顧客，試估計(jì)該顧客年齡在且未使用自由購(gòu)的概率；

（Ⅱ）從被抽取的年齡在使用自由購(gòu)的顧客中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況，用表示這3人中年齡在的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）為鼓勵(lì)顧客使用自由購(gòu)，該超市擬對(duì)使用自由購(gòu)的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.若某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購(gòu)物，試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在上恒成立.

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【題目】窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．圖中的窗花是由一張圓形紙片剪去一個(gè)正十字形剩下的部分，正十字形的頂點(diǎn)都在圓周上．已知正十字形的寬和長(zhǎng)都分別為x，y（單位：dm）且x＜y，若剪去的正十字形部分面積為4dm2．

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求其定義域；

（2）現(xiàn)為了節(jié)約紙張，需要所用圓形紙片面積最�。�(dāng)x取何值時(shí)，所用到的圓形紙片面積最小，并求出其最小值．

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【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC＝120°，PA⊥平面ABC，AB＝4，PA＝2，D是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合）．

（1）證明：AD⊥PB；

（2）當(dāng)三棱錐D﹣ACM體積最大時(shí)，求面MAD與面MCD所成二面角的正弦值.

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