Question

曲邊梯形由曲線y=x²+1，y=0，x=1，x=2所圍成，過曲線y=x²+1，x∈[1，2]上一點(diǎn)P作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個面積最大的普通梯形，則這一點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出P的坐標(biāo)，求出切線方程，計算出梯形的面積，利用配方法求最值，即可確定P的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)P（a，a²+1）（a∈[1，2]），則
∵y=x²+1，∴y′=2x

∴點(diǎn)P處的切線方程為y-（a²+1）=2a（x-a）

x=1時，y=-a²+2a+1；x=2時，y=-a²+4a+1
∴所求梯形的面積S=

1

2

(-a2+2a+1-a2+4a+1)×1=-(a-

3

2

)2+

13

4

∵a∈[1，2]，∴a=

3

2

時，Smax=

13

4

此時，P（

3

2

，

13

4

）

故答案為：（

3

2

，

13

4

）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查梯形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．