(2010•湖北模擬)已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=(x2+
3
2
)(x+a)

(I)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,求a的取值范圍;
(II)當(dāng)a=
9
4
時,對任意x1,x2∈[-1,0],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,試求m的取值范圍.
分析:(I)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線,則f'(x)=0有實(shí)數(shù)解,從而可求a的取值范圍;
(II)對任意x1,x2∈[-1,0],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m恒成立,可轉(zhuǎn)化為:對任意x1,x2∈[-1,0],不等式f(x1max-f(x2min≤m恒成立,利用導(dǎo)數(shù)可求.
解答:解:(I)∵f(x)=x3+ax+
3
2
x+
3
2
a
,∴f′(x)=3x2+2ax+
3
2

∵函數(shù)f(x)的圖象上有x軸平行的切線,∴f'(x)=0有實(shí)數(shù)解∴△=4a2-4×3×
3
2
≥0
,∴a2
9
2

因此,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-
3
2
2
]∪[
3
2
2
,+∞)
…(5分)
(II)當(dāng)a=
9
4
時,f′(x)=3x2+2ax+
3
2
=3(x+
1
2
)(x+1)

f′(x)>0,得x<-1或x>-
1
2
…(6分)
f′(x)<0,得-1<x<-
1
2

因此,函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為(-∞,-1],[-
1
2
,+∞)
;
單調(diào)減區(qū)間為[-1,-
1
2
]
…(8分)
由此可知f(x)在[-1,-
1
2
]
上的最大值為f(-1)=
25
8
,最小值為f(-
1
2
)=
49
16
;
f(x)在[-
1
2
,0]
上的最大值為f(0)=
27
8
,最小值為f(-
1
2
)=
49
16

f(x)在[-1,-
1
2
]上的最大值為f(0)=
27
8
,最小值為f(-
1
2
)=
49
16

因此,任意的x1x2∈[-1,0],恒有|f(x1)-f(x2)|≤
27
8
-
49
16
=
5
16

所以m的取值范圍是[
5
16
,+∞)
…(12分)
點(diǎn)評:本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查恒成立問題,關(guān)鍵是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值去解決.
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OA
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OB
+5
OC
=
0
,則△ABC的面積為( 。

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8
7
an+1
,且存在大于1的整數(shù)k使ak=0,m=1+
8
7
a1

(1)用k表示m(化成最簡形式);
(2)若m是正整數(shù),求k與m的值;
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