已知橢圓C:=1(a>b>0)的焦距為4,且與橢圓x2=1有相同的離心率,斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)M(0,1),與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)橢圓C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi)時(shí),求k的取值范圍.

(1)=1;(2)(-∞,).

解析試題分析:(1)求出已知橢圓離心率,結(jié)合焦距2c=4,可得a,b;(2)聯(lián)立方程組,依據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)部列出關(guān)系式求解.
試題解析:(1)∵橢圓C的焦距為4,∴c=2.
又∵橢圓x2=1的離心率為,∴橢圓C的離心率e=,∴a=2,b=2.
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
消去y,得(1+2k2)x2+4kx-6=0,∴x1+x2,x1x2.
由(1)知橢圓C的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),
∵右焦點(diǎn)F在圓的內(nèi)部,∴·<0.∴(x1-2)(x2-2)+y1y2<0,
即x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+k(x1+x2)+1<0.∴(1+k2)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5
=(1+k2+(k-2)·+5=<0,∴k<.
經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k<時(shí),直線l與橢圓C相交.∴直線l的斜率k的取值范圍為(-∞,).
考點(diǎn):橢圓方程得確定、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

以點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(1,)。
(I)求橢圓C的方程;
(II)過P點(diǎn)分別以為斜率的直線分別交橢圓C于A,B,M,N,求證: 使得

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在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線交于兩點(diǎn).
(1)寫出的方程;
(2)若點(diǎn)在第一象限,證明當(dāng)時(shí),恒有.

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已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和為.
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程;
(Ⅱ)設(shè),過點(diǎn)作直線,交橢圓異于兩點(diǎn),直線的斜率分別為,證明:為定值.

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已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),右準(zhǔn)線為,離心率為.若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,以線段為直徑作圓.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若圓軸相切,求圓被直線截得的線段長(zhǎng).

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已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、,直線相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為
(1)求點(diǎn)軌跡的方程;
(2)若過點(diǎn)的直線與(1)中的軌跡交于不同的兩點(diǎn),試求面積的取值范圍(為坐標(biāo)原點(diǎn)).

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已知橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)分別為,是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),以為一邊在軸下方作矩形,使,于點(diǎn),于點(diǎn)

(Ⅰ)如圖(1),若,且為橢圓上頂點(diǎn)時(shí),的面積為12,點(diǎn)到直線的距離為,求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖(2),若,試證明:成等比數(shù)列.

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已知橢圓C:的離心率等于,點(diǎn)P在橢圓上。
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為,過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),是否存在定直線,使得的交點(diǎn)總在直線上?若存在,求出一個(gè)滿足條件的值;若不存在,說明理由.

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設(shè)橢圓的離心率,是其左右焦點(diǎn),點(diǎn)是直線(其中)上一點(diǎn),且直線的傾斜角為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若 是橢圓上兩點(diǎn),滿足,求為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值.

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