已知橢圓C：( )的離心率為，點(diǎn)(1，)在橢圓C上.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的兩條切線交于點(diǎn)M(4，)，其中，切點(diǎn)分別是A、B，試?yán)媒Y(jié)論：在橢圓上的點(diǎn)()處的橢圓切線方程是，證明直線AB恒過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)；
（3）試探究的值是否恒為常數(shù)，若是，求出此常數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（1） ；（2）參考解析；（3）

解析試題分析：（1）由離心率為，點(diǎn)(1，)在橢圓C，根據(jù)橢圓方程的等量關(guān)系即可求出的值，即得到橢圓方程.
（2）由橢圓切線方程是，又因?yàn)榍悬c(diǎn)分別為A，B.所以帶入A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到兩條切線方程，又因?yàn)檫@兩條切線過(guò)點(diǎn)M，代入點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得經(jīng)過(guò)A，B的直線方程，根據(jù)右焦點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到結(jié)論.
（3）由（2）可得直線AB的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，兩點(diǎn)的距離公式表達(dá)出，通過(guò)運(yùn)算即可得到結(jié)論.
（1）設(shè)橢圓C的方程為()
①
點(diǎn)(1，)在橢圓C上，②，
由①②得：
橢圓C的方程為，         4分
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，，則切線方程分別為，.
又兩條切線交于點(diǎn)M(4，)，即，
即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)都適合方程，顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)，點(diǎn)(1，0)都適合這個(gè)方程，
故直線AB恒過(guò)橢圓的右焦點(diǎn).            7分
（3）將直線的方程，代入橢圓方程，得
，即
所以，       10分
不妨設(shè)，，
同理
所以==
所以的值恒為常數(shù).       13分
考點(diǎn)：1.橢圓的方程.2.直線與圓的位置關(guān)系.3.構(gòu)造概括的能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
已知雙曲線的兩條漸近線分別為.

（1）求雙曲線的離心率；
（2）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一，四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵已知過(guò)點(diǎn)（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A 、B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)度。.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且恰好與直線相切，設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線
（1）求曲線C的方程，
（2）直線l與直線l，垂直且與曲線C交于B、D兩點(diǎn)，求△OBD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為,拋物線的方程為,線段是拋物線的一條動(dòng)弦．
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若,求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；
(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)圓,若存在且僅存在兩條動(dòng)弦,滿足直線與圓相切，求半徑的取值范圍？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上.
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓上，求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓，、是橢圓的左右焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求該橢圓方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且傾斜角等于的直線，交橢圓于、兩點(diǎn)，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C:的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，以弦為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，試探討點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)準(zhǔn)線上一點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線交拋物線于，兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程及的取值范圍；
（2）是否存在值，使點(diǎn)是線段的中點(diǎn)？若存在，求出值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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