Question

已知函數(shù)（x∈R，p₁，p₂為常數(shù)），函數(shù)f（x）定義為：對每個給定的實數(shù)x，。
（1）求f（x）=f₁（x）對所有實數(shù)x成立的充分必要條件（用p₁，p₂表示）；
（2）設a，b是兩個實數(shù)，滿足a＜b且p₁，p₂∈（a，b），若f（a）=f（b），求證：函數(shù) f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調增區(qū)間的長度之和為（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m）。

Answer 1

解：（1）由f（x）的定義可知，f（x）=f1（x）（對所有實數(shù)x）等價于f1（x）≤f2（x）（對所有實數(shù)x），這又等價于 即3|x-p1|-|x -p2|≤2對所有實數(shù)x均成立 （*） 易知函數(shù)|x-p1|-|x-p2|（x∈R）的最大值為|p2-p1| 故（*）等價于 這就是所求的充分必要條件。
（2）分兩種情形討論： （i）當時，由（1）知f（x）=f1（x）（對所有實數(shù)x∈[a，b]）， 則由f（a）=f（b）及a＜p1＜b易知 再由f1（x）的單調性可知，f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調增區(qū)間的長度為 如圖所示。
（ii）當時，不妨設p1＜p2則 于是，當x≤p1時，有 從而f（x）=f1（x） 當x≥p2時 從而 當p1＜x＜p2時， 由方程 解得f1（x）與f2（x）圖象交點的橫坐標為 顯然 這表明x0在p1與p2之間，由①易知   綜上可知，在區(qū)間[a，b]上 如圖所示 故由函數(shù)f1（x）與f（x）的單調性可知，f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調增區(qū)間的長度之和為（x0-p1）+（b-p2） 由于f（a）=f（b），即得 故由①、②得 綜合（i）、（ii）可知，f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調增區(qū)間的長度之和為。