Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），它在y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為（x0 ， 2），（x0+ ，﹣2）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若當(dāng)0≤x≤ 時，方程f（x）﹣m=0有兩個不同的實(shí)數(shù)根α，β，試討論α+β的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得：A=2，

由在y軸右側(cè)的第一個最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為（x0，2），（x0+ ，﹣2），可得：

=（x0+ ）﹣x0= ，可得：T=π，

∴ω=2，可得：f（x）=2sin（x+φ），

又∵圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1），可得：2sinφ=1，解得：sinφ= ，

∵|φ|＜ ，可得：φ= ，

∴函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x+ ）

由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，可得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：如圖所示，在同一坐標(biāo)系中畫出y=2sin（2x+ ）和y=m（m∈R）的圖象，

由圖可知，當(dāng)﹣2＜m≤0或1≤m＜2時，直線y=m與曲線有兩個不同的交點(diǎn)，即原方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)﹣2＜m≤0時，兩根和為 ；

當(dāng)1≤m＜2時，兩根和為

【解析】（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，1）求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在同一坐標(biāo)系中畫出y=2sin（2x+ ）和直線y=m（m∈R）的圖象，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象的特征，數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)m的取值范圍和這兩個根的和．