Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （a，b∈R，且a≠0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（I）若曲線f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線斜率為0，且f（x）有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（II）（i）當(dāng) a=b=l 時(shí)，證明：xf（x）+2＜0；
（ii）當(dāng) a=1，b=﹣1 時(shí)，若不等式：xf（x）＞e+m（x﹣1）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）= ，∴f′（x）= ．
∵f′（e）=0，∴b=0，則f′（x）= ．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）在（0，e）內(nèi)大于0，在（e，+∞）內(nèi)小于0，
∴f（x）在（0，e）內(nèi)為增函數(shù)，在（e，+∞）內(nèi)為減函數(shù)，即f（x）有極大值而無極小值；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，e）內(nèi)為減函數(shù)，在（e，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，即f（x）有極小值而無極大值．
∴a＜0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，0）；
（Ⅱ）（i）證明：當(dāng)a=b=1時(shí)，設(shè)g（x）=xf（x）+2=lnx﹣ex+2．
g′（x）= 在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，又g′（1）=1﹣e＜0，g′（ ）=2﹣ ．
∴存在實(shí)數(shù)x0∈（ ，1），使得 ．
此時(shí)g（x）在區(qū)間（0，x0）內(nèi)為增函數(shù)，在（x0 ， +∞）內(nèi)為減函數(shù)．
又 ，
∴ ，x0=﹣lnx0 ．
由單調(diào)性知， = ．
又x0∈（ ，1），∴﹣（ ）＜﹣2．
∴g（x）max＜0，即xf（x）+2＜0；
（ii）xf（x）＞e+m（x﹣1）xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，
當(dāng) a=1，b=﹣1 時(shí)，設(shè)h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+ex﹣m（x﹣1）．
則h′（x）= ．
令t（x）=h′（x）= ．
∵x＞1，∴t′（x）= ．
∴h′（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．
①當(dāng)1+e﹣m≥0時(shí)，即m≤1+e時(shí)，h′（x）＞0，
∴h（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞h（1）=e恒成立；
②當(dāng)1+e﹣m＜0時(shí)，即m＞1+e時(shí)，h′（x）＜0，
∴存在x0∈（1，+∞），使得h′（x0）=0．
∴h（x）在區(qū)間（1，x0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（x0 ， +∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
由h（x0）＜h（1）=e，
∴h（x）＞e不恒成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，1+e]．
∴實(shí)數(shù)m的最大值為：1+e．
【解析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f′（e）=0得b=0，可得f′（x）= ．然后對(duì)a分類討論，可知當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）有極大值而無極小值；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）有極小值而無極大值．從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，0）；（Ⅱ）（i）當(dāng)a=b=1時(shí)，設(shè)g（x）=xf（x）+2=lnx﹣ex+2．求其導(dǎo)函數(shù)，可得g′（x）= 在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得存在實(shí)數(shù)x0∈（ ，1），使得 ．得到g（x）在區(qū)間（0，x0）內(nèi)為增函數(shù)，在（x0 ， +∞）內(nèi)為減函數(shù)．又 ，得 ，x0=﹣lnx0 ．
由單調(diào)性知g（x）max＜0，即xf（x）+2＜0；（ii）xf（x）＞e+m（x﹣1）xf（x）﹣m（x﹣1）＞e，當(dāng) a=1，b=﹣1 時(shí)，設(shè)h（x）=xf（x）﹣m（x﹣1）=lnx+ex﹣m（x﹣1）．利用兩次求導(dǎo)可得當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞h′（1）=1+e﹣m．然后分當(dāng)1+e﹣m≥0時(shí)和當(dāng)1+e﹣m＜0時(shí)求解m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值即可以解答此題．