Question

如圖所示，矩形ABCD的邊長AB=6，BC=4，點(diǎn)F在DC上，DF=2．動點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿射線DA、BA的方向運(yùn)動，當(dāng)?shù)诙�次MF=MN時(shí)M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．連接FM、FN，當(dāng)F、N、M不在同一直線時(shí)，可得△FMN，設(shè)動點(diǎn)M、N的速度都是1個(gè)單位/秒，M、N運(yùn)動的時(shí)間為t秒．試解答下列問題：
（1）求F、M、N三點(diǎn)共線時(shí)t的值；
（2）設(shè)△FMN的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式．并求出t為何值時(shí)S的值最大．
（3）試問t為何值時(shí)，△FMN為直角三角形？

Answer 1

分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD為x，y軸正方向建立坐標(biāo)系，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，構(gòu)造關(guān)于t的方程，解方程可得t的取值范圍
（1）若F、M、N三點(diǎn)共線，則

FM

∥

FN

，結(jié)合向量共線的充要條件，可求出滿足條件的t值．
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，分t＜2+2

3

時(shí)，t=2+2

3

時(shí)，2+2

3

＜t≤6時(shí)和6＜t≤10+2

13

時(shí)四種情況分別求出△FMN面積的最值，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．
（3）利用勾股定理和兩點(diǎn)之間的距離公式，分別討論可得△FMN為直角三角形時(shí)的t值．

解答：解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD為x，y軸正方向建立坐標(biāo)系，
則A（0，0），B（6，0），C（6，4），D（0，4），F(xiàn)（2，4），M（0，4-t），N（6-t，0）
若MF=MN，則4+t²=（4-t）²+（6-t）²
即t²-20t+48=0
解得t=10±2

13

故t∈[0，10+2

13

]
（1）若F、M、N三點(diǎn)共線，則

FM

∥

FN

即（-2，-t）∥（4-t，-4）
即t²-4t-8=0
解得t=2+2

3

（2）①當(dāng)t＜2+2

3

時(shí)，如下圖所示：

S_△FMN=S_ABCD-S_△AMN-S_△DMF-S_NBFC
=4×6-

1

2

×（4-t）（6-t）-

1

2

×2×t-

1

2

×（4+t）×4
=-

1

2

t²+2t+4，
此時(shí)t=2時(shí)，S_△FMN取最大值6
②當(dāng)t=2+2

3

時(shí)，如下圖所示：

F、M、N三點(diǎn)共線，S_△FMN=0
③當(dāng)2+2

3

＜t≤6時(shí)，如下圖所示：

S_△FMN=

1

2

×NE×DM=

1

2

×[

2t-8

t

-（6-t）]×t=

1

2

t²-2t-4，
此時(shí)t=6時(shí)，S_△FMN取最大值2
④當(dāng)6＜t≤10+2

13

時(shí)，如下圖所示：

S_△FMN=

1

2

×NE×DM=

1

2

×[（t-6）+

2t-8

t

]×t=

1

2

t²-2t-4，
此時(shí)t=10+2

13

時(shí)，S_△FMN取最大值52+16

13

綜上所述t=10+2

13

時(shí)，S_△FMN取最大值52+16

13

（3）若△FMN為直角三角形，
①若FM為斜邊，則FM²=FN²+MN²，
即4+t²=（4-t）²+（6-t）²+（4-t）²+16
即t²-14t+40=0
解得t=4，或t=10
②若FN為斜邊，則FN²=FM²+MN²，
即（4-t）²+（6-t）²=4+t²+（4-t）²+16
即12t=16
解得t=

4

3

③若MN為斜邊，則MN²=FN²+FM²，
即4+t²+（4-t）²+（6-t）²=（4-t）²+16
即t²-8t+12=0
解得t=2，或t=6
綜上所述△FMN為直角三角形，t=4，或t=10，或t=

4

3

，或t=2，或t=6

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的最值，勾股定理，兩點(diǎn)間距離公式，是函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，計(jì)算量較大．