若函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足：①對(duì)于定義域上的任意x，恒有f（-x）+f（x）=0；②對(duì)于定義域上的任意x1，x2，當(dāng)x1≠x2時(shí)，恒有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”，給出下列四個(gè)函數(shù)中：
①f（x）=2x
②f（x）=-
1
x

③f（x）=log2x2
④f（x）=
ex-1
ex+1

⑤f（x）=
-x2(x＜0)
x2(x≥0)

能被稱(chēng)為“理想函數(shù)”的有
①④⑤
①④⑤
．
分析：根據(jù)已知中“理想函數(shù)”中條件①等價(jià)于函數(shù)為奇函數(shù)；條件②等價(jià)于函數(shù)在R上為增函數(shù)；逐一判斷五個(gè)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，可得答案．
解答：解：若條件①成立，則函數(shù)為奇函數(shù)；若條件②成立，則函數(shù)在R上為增函數(shù)；
①中函數(shù)f（x）=2x即是奇函數(shù)，又在R上為增函數(shù)，故①是“理想函數(shù)”；
②中函數(shù)f（x）=-
1
x
是奇函數(shù)，但在R上不是增函數(shù)，故②不是“理想函數(shù)”；
③中函數(shù)f（x）=log2x2是偶函數(shù)，且在R上不是增函數(shù)，故③不是“理想函數(shù)”；
④中函數(shù)f（x）=
ex-1
ex+1
是奇函數(shù)，又在R上為增函數(shù)，故④是“理想函數(shù)”；
⑤中函數(shù)f（x）=
-x2(x＜0)
x2(x≥0)
是奇函數(shù)，又在R上為增函數(shù)，故⑤是“理想函數(shù)”；
故五個(gè)函數(shù)中①④⑤為“理想函數(shù)”；
故答案為：①④⑤
點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，熟練掌握各種初等基本函數(shù)單調(diào)性和奇偶性是解答的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足①有反函數(shù)；②是奇函數(shù)；③定義域與值域相同．則f（x）的解析式可能是（　�。�
A、f（x）=-x3
B、f（x）=x3+1
C、f（x）=
ex+e-x
2
D、f（x）=lg
1-x
1+x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)性質(zhì)：
①最小正周期為π；
②圖象關(guān)于直線(xiàn)x=
π
3
對(duì)稱(chēng)；
③在區(qū)間[-
π
6
，
π
3
]上是增函數(shù)．
則y=f（x）的解析式可以是（　�。�
A、y=sin（2x-
π
6
）
B、y=sin（
x
2
+
π
6
）
C、y=cos（2x-
π
6
）
D、y=cos（2x+
π
3
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足：①對(duì)于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；  ②對(duì)于定義域上的任意x1，x2，當(dāng)x1≠x2時(shí)，恒有
f(x1)-f(x2) 
x1-x2
＜0，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”．給出下列四個(gè)函數(shù)中：
（1）f（x）=
1
x
   
（2）f（x）=x2  
（3）f（x）=
2x-1
2x+1
 
（4）f（x）=
-x2   x≥0
x2    x＜0
，
能被稱(chēng)為“理想函數(shù)”的有
（4）
（4）
（填相應(yīng)的序號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若函數(shù)f（x）同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：①f（x）在其定義域上是單調(diào)函數(shù)；②在f（x）的定義域內(nèi)存在區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]．則稱(chēng)函數(shù)f（x）為“自強(qiáng)”函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=2x-1是否為“自強(qiáng)”函數(shù)？若是，則求出a，b若不是，說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=
2x-1
+t是“自強(qiáng)”函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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