現(xiàn)有下列命題:
①設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),若a2-b2=1,則a-b<1;
②設(shè)
a
,
b
均為單位向量,若|
a
+
b
|>1則θ∈[0,
3
)
;
③數(shù)列{n(n+4)(
2
3
)n}中的最大項(xiàng)是第4項(xiàng)

④設(shè)函數(shù)f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,則關(guān)于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4個(gè)解.
其中的真命題有
①②③
①②③
.(寫出所有真命題的編號(hào)).
分析:①將a2-b2=1,分解變形為(a+1)(a-1)=b2,即可證明a-1<b,即a-b<1
②根據(jù)向量模的計(jì)算公式,求出|
a
+
b
|>1
時(shí),夾角θ的范圍,可判斷真假
③求數(shù)列的最大值,可通過做差或做商比較法判斷數(shù)列的單調(diào)性處理.進(jìn)而判斷其真假
④根據(jù)函數(shù)f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,及f2(x)+2f(x)=0解方程求出方程根的個(gè)數(shù),可判斷其真假
解答:解:①若a2-b2=1,則a2-1=b2,
即(a+1)(a-1)=b2
∵a+1>a-1,
∴a-1<b,即a-b<1,①正確;
②若|
a
+
b
|>1
,則
a
2
+
b
2
+2
a
b
>1

即2+2cosθ>1,cosθ>-
1
2
,
又∵θ∈[0,π],
∴θ∈[0,
3
),②正確;
③由an=n(n+4)(
2
3
n
an+1
an
=
(n+1)(n+5)(
2
3
)n+1
(n)(n+4)(
2
3
)n
=
2
3
(n+1)(n+5)
(n)(n+4)
≥1,
則2(n+1)(n+5)≥3n(n+4),
即n2≤10,所以n<4,
即n<4時(shí),an+1>an,
當(dāng)n≥4時(shí),an+1<an
所以a4最大,故③正確;
令f2(x)+2f(x)=0,
則f(x)=0,或f(x)=-2,
f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,
∴當(dāng)f(x)=0時(shí),
x=1,或x=0,或x=2,
當(dāng)f(x)=-2時(shí),x=10.1或x=0.99,
故方程有5個(gè)解,故④錯(cuò)誤
故答案為:①②③
點(diǎn)評:本題主要考查了不等式的證明方法,間接證明和直接證明的方法,放縮法和舉反例法證明不等式,演繹推理能力,有一定難度,屬中檔題
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)V是已知平面M上所有向量的集合,對于映射f:V→V,a∈V,記a的象為f(a).若映射f:V→V滿足:對所有a、b∈V及任意實(shí)數(shù)λ,μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),則f稱為平面M上的線性變換.現(xiàn)有下列命題:
①設(shè)f是平面M上的線性變換,a、b∈V,則f(a+b)=f(a)+f(b);
②若e是平面M上的單位向量,對a∈V,設(shè)f(a)=a+e,則f是平面M上的線性變換;
③對a∈V,設(shè)f(a)=-a,則f是平面M上的線性變換;
④設(shè)f是平面M上的線性變換,a∈V,則對任意實(shí)數(shù)k均有f(ka)=kf(a).
其中的真命題是
 
(寫出所有真命題的編號(hào))

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

現(xiàn)有下列命題:
①設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),若a2-b2=1,則a-b<1;
②已知a>2b>0,則a2+
8
b(a-2b)
的最小值為16;
③數(shù)列{n(n+4)(
2
3
)n}中的最大項(xiàng)是第4項(xiàng)
;
④設(shè)函數(shù)f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,則關(guān)于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4個(gè)解.
⑤若sinx+siny=
1
3
,則siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命題有
①②③
①②③
.(寫出所有真命題的編號(hào))

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

現(xiàn)有下列命題:
①設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),若a2-b2=1,則a-b<1;
②△ABC若acosA=bcosB,則△ABC是等腰三角形;
③數(shù)列{n(n+4)(
2
3
n中的最大項(xiàng)是第4項(xiàng);
④設(shè)函數(shù)f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
則關(guān)于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4個(gè)解;
⑤若sinx+siny=
1
3
,則siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命題有
①③
①③
.(寫出所有真命題的編號(hào)).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•眉山一模)設(shè)函數(shù)f(x)對其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,則稱函數(shù)f(x)為上凸函數(shù). 若函數(shù)f(x)為上凸函數(shù),則對定義域內(nèi)任意x1、x2、x3,…,xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
(當(dāng)x1=x2=x3=…=xn時(shí)等號(hào)成立),稱此不等式為琴生不等式,現(xiàn)有下列命題:
①f(x)=lnx(x>0)是上凸函數(shù);
②二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是上凸函數(shù)的充要條件是a>0;
③f(x)是上凸函數(shù),若A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)圖象上任意兩點(diǎn),點(diǎn)C在線段AB上,且
AC
CB
,則f(
x1x2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
;
④設(shè)A,B,C是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角,則sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2

其中,正確命題的序號(hào)是
①③④
①③④
(寫出所有你認(rèn)為正確命題的序號(hào)).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•眉山一模)設(shè)函數(shù)f(x)對其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,則稱函數(shù)f(x)為上凸函數(shù).現(xiàn)有下列命題:
①f(x)=sinx,x∈[0,π]是上凸函數(shù);
②f(x)=lnx(x>0)是上凸函數(shù);
③二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是上凸函數(shù)的充要條件是a>0;
④f(x)是上凸函數(shù),若A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)圖象上任意兩點(diǎn),點(diǎn)C在線段AB上,且
AC
CB
,則f(
x1x2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ
;
其中,正確命題的序號(hào)是
①②④
①②④
(寫出所有你認(rèn)為正確命題的序號(hào)).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案