已知數(shù)列{an}滿足a1=0，a2＝1，當(dāng)n∈N*時(shí)，an+2=an+1+an.求證:數(shù)列{an}的第4m+1項(xiàng)?(m∈N*)?能被3整除.

證明：(1)當(dāng)m=1時(shí),?

a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)?

=(a2+a1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3,?

即當(dāng)m=1時(shí),第4m+1項(xiàng)能被3整除.?

(2)假設(shè)當(dāng)m=k時(shí),a4k+1能被3整除,則當(dāng)m=k+1時(shí),?

a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2?

=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.?

顯然,3a4k+2能被3整除,又由假設(shè)知a4k+1能被3整除.?

∴3a4k+2+2a4k+1能被3整除,?

即當(dāng)m=k+1時(shí),a4(k+1)+1也能被3整除.?

由(1)和(2)知,對(duì)于n∈N*,數(shù)列{an}中的第4m+1項(xiàng)能被3整除.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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