Question

【題目】設(shè)函數(shù)f （x）=（x+1）lnx﹣a （x﹣1）在x=e處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，2﹣e）．
（1）求a的值；
（2）函數(shù)f （x）能否在x=1處取得極值？若能取得，求此極值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，試比較 與 大�。�

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=lnx+ +1﹣a，

依題設(shè)得 =f′（e），即

e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e ，

解得a=2

（2）解：函數(shù)f （x）不能在x=1處取得極值．

因?yàn)閒′（x）=lnx+ ﹣1，記g（x）=ln x+ ﹣1，則g′（x）= ．

①當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，

所以g（x）＞g（1）=0，所以f′（x）＞0；

②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）是減函數(shù)，

所以g（x）＞g（1）=0，即有f′（x）＞0．

由①②得f （x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，

所以x=1不是函數(shù)f （x）極值點(diǎn)．

（3）解：當(dāng)1＜x＜2時(shí)， ＞ ﹣ ．

證明如下：由（2）得f （x）在（1，+∞）為增函數(shù)，

所以當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞f （1）=0．

即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以 ＜ ．①

因?yàn)?＜x＜2，所以0＜2﹣x＜1， ＞1，所以 ＜ = ，

即﹣ ＜ ．②

①+②得 ﹣ ＜ + =

【解析】