Question

【題目】已知二次函數g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在區(qū)間[0，3]上有最大值4，最小值0．
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）設f（x）= ．若f（2x）﹣k2x≤0在x∈[﹣3，3]時恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵g（x）=m（x﹣1）2﹣m+1+n

∴函數g（x）的圖象的對稱軸方程為x=1

∵m＞0依題意得 ，

即 ，

解得

∴g（x）=x2﹣2x+1，

（2）

∵

∴ ，

∵f（2x）﹣k2x≤0在x∈[﹣3，3]時恒成立，

即 在x∈[﹣3，3]時恒成立

∴ 在x∈[﹣3，3]時恒成立

只需

令 ，

由x∈[﹣3，3]得

設h（t）=t2﹣4t+1

∵h（t）=t2﹣4t+1

=（t﹣2）2﹣3

∴函數h（x）的圖象的對稱軸方程為t=2

當t=8時，取得最大值33．

∴k≥h（t）max=h（8）=33

∴k的取值范圍為[33，+∞）

【解析】（Ⅰ）由題意得方程組解出即可，（Ⅱ）將f（x）進行變形，通過換元求出函數h（t）的最值，從而求出k的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減)．