Question

設(shè)P為橢圓

x2

4

+y2=1上任意一點，O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓的左焦點，點M滿足

OM

=

1

2

(

OP

+

OF

)，則|

OM

|+|

MF

|=

 

．

Answer 1

分析：先由點M滿足

OM

=

1

2

(

OP

+

OF

)，得出M為FP中點，然后根據(jù)c²=a²-b²，求出c的值即可．

解答：解：令橢圓的右焦點為F₂，以O(shè)P、OF為鄰邊作平行四邊形OPAF．
由平行四邊形法則，有：

OA

=

OP

+

OF

，
而點M滿足

OM

=

1

2

(

OP

+

OF

)，
∴

OA

=2

OM

，
∴M是OA的中點．
∵OPAF是平行四邊形，
∴OA、PF互相平分，又M是OA的中點，
∴M是PF的中點，
∴MF=

1

2

PF．
顯然，由橢圓方程可知：原點O是橢圓的中心，
∴O是FF₂的中點．
∵M、O分別是PF、FF₂的中點，
∴OM是△PFF₂的中位線，
∴OM=

1

2

PF₂．
由MF=

1

2

PF、OM=OM=

1

2

PF₂，
得：OM+MF=

1

2

（PF+PF₂）
由橢圓定義，有：PF+PF2=2a=2×2=4，
∴OM+MF=2．
∴|

OM

|+|

MF

|=OM+MF=2．
故答案為：2

點評：本題考查了橢圓的性質(zhì)，得出|

OM

|+|

MF

|=

OF

是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．