Question

【題目】已知橢圓，圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與圓交于點(diǎn)，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

（1）求橢圓的方程和圓的方程；

（2）過(guò)圓上的動(dòng)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，若直線的斜率為且與橢圓相切，試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線與橢圓相切，詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)圓過(guò)點(diǎn)可得圓的方程為：，根據(jù)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線過(guò)點(diǎn)，可得，可得直線與橢圓相交的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，將其代入橢圓方程可得橢圓的方程為；

（2）設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，設(shè)直線：，將其代入，得，利用判別式為0，可得，設(shè)直線：，將其代入，利用判別式為0可證直線與橢圓相切.

（1）因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)，所以圓的方程為：.

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為，

又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以.

因?yàn)橹本�與橢圓相交的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以，解得.

所以橢圓的方程為.

（2）直線與橢圓相切.理由如下：

設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以.

依題意，設(shè)直線：.

由得.

因?yàn)橹本�與橢圓相切，

所以.

所以.

所以.

因?yàn)?/span>，所以.

所以.

設(shè)直線：，

由得.

則

.

所以直線與橢圓相切.