(08年黃岡中學(xué)二模)如圖,直三棱柱A1B1C1ABC中,C1C=CB=CA=2,ACCB. D、E分別為棱C1C、B1C1的中點(diǎn).

    (Ⅰ)求與平面A1C1CA所成角的大;

    (Ⅱ)求二面角BA1DA的大。

    (Ⅲ)試在線段AC上確定一點(diǎn)F,使得EF⊥平面A1BD.

 

解析:(Ⅰ)連接A1C.∵A1B1C1ABC為直三棱柱,∴CC1⊥底面ABC,∴CC1BC.

       ∵ACCB,∴BC⊥平面A1C1CA.

       ∴與平面A1C1CA所成角,.

與平面A1C1CA所成角為.

(Ⅱ)分別延長(zhǎng)ACA1D交于G. 過CCMA1GM,連結(jié)BM,

       ∵BC⊥平面ACC­1A1,∴CMBM在平面A1C1CA內(nèi)的射影,

       ∴BMA1G,∴∠CMB為二面角BA1DA的平面角,

       平面A1C1CA中,C1C=CA=2,DC1C的中點(diǎn),

       ∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,,.

       即二面角BA1DA的大小為.

(Ⅲ)取線段AC的中點(diǎn)F,則EF⊥平面A1BD.

證明如下:

A1B1C1ABC為直三棱柱,∴B1C1//BC,

∵由(Ⅰ)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA,

EF在平面A1C1CA內(nèi)的射影為C1F,當(dāng)FAC的中點(diǎn)時(shí),

C1FA1D,∴EFA1D.

同理可證EFBD,∴EF⊥平面A1BD.

解法二:

(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)∵A1B1C1ABC為直三棱柱,C1C=CB=CA=2,

ACCBD、E分別為C1CB1C1的中點(diǎn).

建立如圖所示的坐標(biāo)系得:

C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),

C1(0,0,2), B1(2,0,2), A­1(0,2,2),

D(0,0,1), E(1,0,2).

,設(shè)平面A1BD的法向量為,

  .

平面ACC1A1­的法向量為=(1,0,0),.

即二面角BA1DA的大小為.

(Ⅲ)FAC上的點(diǎn),故可設(shè)其坐標(biāo)為(0,,0),∴.

由(Ⅱ)知是平面A1BD的一個(gè)法向量,

欲使EF⊥平面A1BD,當(dāng)且僅當(dāng)// 

,∴當(dāng)FAC的中點(diǎn)時(shí),EF⊥平面A1BD.

 

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(III)令,試證明:.

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