已知定點(diǎn)F（2，0），動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且與直線x=-2相切，記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l與軌跡C交于A（x1，y1）、B（x1，y2）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為軌跡C上一點(diǎn)，若向量
OM
=
OA
+λ
OB
，求λ的值．
（Ⅰ）∵動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且與直線x=-2相切，
∴P到F的距離等于P到直線x=-2的距離
∴圓心P的軌跡為以F（2，0）為焦點(diǎn)的拋物線
∴軌跡C的方程為y2=8x；
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），則直線l的方程為y=
3
（x-2）
代入y2=8x得：3x2-20x+12=0
∴x1=
2
3
，x2=6
∴y1=-
4
3
3
，y2=4
3

∵
OM
=
OA
+λ
OB
，
∴x=x1+λx2，y=y1+λy2，
∴x=
2
3
+6λ，y=-
4
3
3
+4
3
λ
∵點(diǎn)M為軌跡C上一點(diǎn)，∴y2=8x，
∴（-
4
3
3
+4
3
λ）2=8（
2
3
+6λ）
∴3λ2-5λ=0
∴λ=
5
3
或0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

長(zhǎng)度為a的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B都在拋物線y2=2px（p＞0，a＞2p）上滑動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F．過點(diǎn)P（2，0）的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，直線AF，BF分別與拋物線交于點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）求y1y2的值；
（Ⅱ）記直線MN的斜率為k1，直線AB的斜率為k2．證明：
k1
k2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為
3
直線與拋物線在x軸上方的交點(diǎn)為M，過M作y軸的垂線，垂足為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OFMN的面積為4
3
．
（1）求拋物線的方程；
（2）若P，Q是拋物線上異于原點(diǎn)O的兩動(dòng)點(diǎn)，且以線段PQ為直徑的圓恒過原點(diǎn)O，求證：直線PQ過定點(diǎn)，并指出定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

在橢圓
x2
16
+
y2
9
=1內(nèi)，有一內(nèi)接三角形ABC，它的一邊BC與長(zhǎng)軸重合，點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則△ABC的重心的軌跡方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

AB是過C：y2=4x焦點(diǎn)的弦，且|AB|=10，則AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)Q作直線x+y=2的垂線，垂足為N，則線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程為（　�。�
A．2x2-2y2-2x-1=0B．x2+y2=1
C．2x2+2y2-y=0D．2x2-2y2-2x+2y-1=0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）其右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，雙曲線虛軸的下端點(diǎn)為B，過雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，若點(diǎn)D滿足：2
OD
=
OF
+
OP
（O為原點(diǎn)）且
AB
=λ
AD
(λ≠0)
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點(diǎn)B的直線l交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，問在y軸上是否存在定點(diǎn)C，使?
CM
•
CN
為常數(shù)，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
（1）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為
3
2
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍；
（3）過原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PQSR的一邊距離為d，試求d=1時(shí)a，b滿足的條件．

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