Question

已知雙曲線，離心率e=，右準(zhǔn)線L₂與一條漸近線L交于點(diǎn)P，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，|PF|=3．
（1）求雙曲線的方程；
（2）求傾斜角為，的弦AB所在直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意不妨取其中一條漸近線方程為：y=以及e=可求出點(diǎn)P為（）再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式代入|PF|=3結(jié)合c²=a²+b²即可求出a，b就可寫(xiě)出雙曲線的方程了．
（2）根據(jù)題意有傾斜角為，因此可將直線方程設(shè)為斜截式再與雙曲線方程聯(lián)立求出兩根之和兩根之積后代入弦長(zhǎng)公式即可求出截距也就寫(xiě)出直線方程了．
解答：解：∵離心率e=
∴
∴c=即F（）
又∵右準(zhǔn)線L₂：x=，不妨取其中一條漸近線方程為：y=，，
∴右準(zhǔn)線L₂與一條漸近線L交于點(diǎn)P為（）
∵|PF|=3
∴由兩點(diǎn)間的距離公式可得①
又∵c²=a²+b²②，，
∴由①②可知25a²=400
∴a²=16，b²=9
∴所求雙曲線的方程為：
（2）由題意可設(shè)弦AB所在直線方程為：y=-x+b且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
令則7x²-32bx+16b²+144=0故
∴|AB|==
∴b²=11
∵△=（32b）²-4×7×（16b²+144）＞0
∴b²＞7
∴b=
∴弦AB所在直線方程為：y=-x+．
點(diǎn)評(píng)：本題主要對(duì)直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題的考查．考查內(nèi)容涉及到漸近線，兩點(diǎn)間的距離公式，直線方程的設(shè)法，弦長(zhǎng)公式．解題的關(guān)鍵是要利用雙曲線中隱含的條件c²=a²+b²和求出b²=11后要驗(yàn)證是否滿足△＞0！