如圖，F(xiàn)1、F2為橢圓的左右焦點，P為橢圓上一點，且位于x軸上方，過點P作x軸的平行線交橢圓右準線于點M，連接MF2，
（1）若存在點P，使PF1F2M為平行四邊形，求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）若存在點P，使PF1F2M為菱形；
①求橢圓的離心率；
②設A（a，0）、B（0，b），求證：以F1A為直徑的圓經(jīng)過點B．

【答案】分析：（1）先設P（x，y），利用橢圓的幾何性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)得出P點橫坐標的表達式，再結(jié)合橢圓的范圍得出關于a，c的不等關系，即可求出橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）①根據(jù)橢圓的兩種定義方法，構(gòu)造關于離心率的關系式，即可求出答案；
②先寫出以F1A為直徑的圓方程，再證B（0，b）滿足方程即可．
解答：解：（1）設P（x，y），則，
∵|PM|=|F1F2|=2c，
∴，
由；
（2）①，，
∵0＜e＜1，∴；
②以F1A為直徑的圓方程為（x+c）（x-a）+y2=0，
下證B（0，b）滿足方程，即-ac+b2=0…（*），
∵e2+e-1=0，
∴c2+ac-a2=0，
∴ac=a2-c2=b2，∴（*）成立，
∴以F1A為直徑的圓經(jīng)過點B．
點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了學生的運算能力．屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）（1）設橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線C2：9x2-
9y2
8
=1有相同的焦點F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3＜x≤4)
．設“盾圓D”上的任意一點M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值； 
（3）由拋物線弧E1：y2=4x（0≤x≤
2
3
）與第（1）小題橢圓弧E2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設過點F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求
r1
r2
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率e=
3
2
，S△DEF2=1-
3
2
．若點M（x0，y0）在橢圓C上，則點N（
x0
a
，
y0
b
）稱為點M的一個“橢點”．直線l與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）△AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（1）設橢圓C1：數(shù)學公式與雙曲線C2：數(shù)學公式有相同的焦點F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為數(shù)學公式．設“盾圓D”上的任意一點M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值；
（3）由拋物線弧E1：y2=4x（0數(shù)學公式）與第（1）小題橢圓弧E2：數(shù)學公式（數(shù)學公式）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設過點F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求數(shù)學公式的取值范圍．

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