Question

已知點(diǎn)A（1，1）是橢圓（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩焦點(diǎn)，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）求過A（1，1）與橢圓相切的直線方程；
（III）設(shè)點(diǎn)C、D是橢圓上兩點(diǎn)，直線AC、AD的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)橢圓的定義可知|AF₁|+|AF₂|=4=2a，然后將點(diǎn)A（1，1）代入橢圓方程即可求出a，b的值，從而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過點(diǎn)（x，y）與橢圓相切的切線方程為，故可求；（III）先假設(shè)出直線AC的方程，然后聯(lián)立直線與橢圓消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而表示出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，再由AC、AD直線傾斜角互補(bǔ)可得到直線AD的方程，進(jìn)而可得到D的橫坐標(biāo)，然后將點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)分表代入直線方程可得到其對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)，即可得到答案．
解答：解：（I）由橢圓定義知：2a=4，∴a=2，∴
把（1，1）代入得，∴，∴橢圓方程為
（II）解：過A（1，1）點(diǎn)與橢圓相切的切線方程為：
即：x+3y-4=0                           
（III）設(shè)AC方程為：y=k（x-1）+1與橢圓方程聯(lián)立，消去y得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
∵點(diǎn)A（1，1）在橢圓上，方程有一個(gè)根為x_A=1，∴                          
∵直線AC、AD傾斜角互補(bǔ)，∴AD的方程為y=-k（x-1）+1
同理，又
y_C=k（x_C-1）+1，y_D=-k（x_D-1）+1，
y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2K
∴，即直線CD的斜率為定值
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的重點(diǎn)問題，每年必考，且常以壓軸題的形式出現(xiàn)，一定要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．