Question

（2008•普陀區(qū)二模）經(jīng)濟(jì)學(xué)中有一個(gè)用來權(quán)衡企業(yè)生產(chǎn)能力（簡稱“產(chǎn)能”）的模型，稱為“產(chǎn)能邊界”．它表示一個(gè)企業(yè)在產(chǎn)能最大化的條件下，在一定時(shí)期內(nèi)所能生產(chǎn)的幾種產(chǎn)品產(chǎn)量的各種可能的組合．例如，某企業(yè)在產(chǎn)能最大化條件下，一定時(shí)期內(nèi)能生產(chǎn)A產(chǎn)品x臺和B產(chǎn)品y臺，則它們之間形成的函數(shù)y=f（x）就是該企業(yè)的“產(chǎn)能邊界函數(shù)”．現(xiàn)假設(shè)該企業(yè)的“產(chǎn)能邊界函數(shù)”為y=15

1600-2x

（如圖）．
（1）試分析該企業(yè)的產(chǎn)能邊界，分別選用①、②、③中的一個(gè)序號填寫下表：

點(diǎn)Pi（x，y）對應(yīng)的產(chǎn)量組合	實(shí)際意義
P1（350，450）	③
P2（200，300）
P3（500，400）
P4（408，420）

①這是一種產(chǎn)能未能充分利用的產(chǎn)量組合；
②這是一種生產(chǎn)目標(biāo)脫離產(chǎn)能實(shí)際的產(chǎn)量組合；
③這是一種使產(chǎn)能最大化的產(chǎn)量組合．
（2）假設(shè)A產(chǎn)品每臺利潤為a（a＞0）元，B產(chǎn)品每臺利潤為A產(chǎn)品每臺利潤的2倍．在該企業(yè)的產(chǎn)能邊界條件下，試為該企業(yè)決策，應(yīng)生產(chǎn)A產(chǎn)品和B產(chǎn)品各多少臺才能使企業(yè)從中獲得最大利潤？

Answer 1

分析：（1）將四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，P₁（350，450）代入，滿足函數(shù)關(guān)系式，所以是一種使產(chǎn)能最大化的產(chǎn)量組合，其它一一加以計(jì)算并驗(yàn)證可得答案；
（2）先構(gòu)建函數(shù)f(x)=ax+30a

1600-2x

，再用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，從而求出答案．

解答：解：（1）將P₁（350，450）代入，滿足函數(shù)關(guān)系式，所以是一種使產(chǎn)能最大化的產(chǎn)量組合；
同理P₂（200，300）一種生產(chǎn)目標(biāo)脫離產(chǎn)能實(shí)際的產(chǎn)量組合；
P₃（500，400），P₄（408，420）是一種產(chǎn)能未能充分利用的產(chǎn)量組合；
（2）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x臺，B產(chǎn)品y臺，f(x)=ax+30a

1600-2x

，令

1600-2x

=t（0≤t≤40）
則  f(t)=-

a

2

(t-30)2+1250a，∴t=30利潤最大，∴x=350，y=450

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)模型的利用，考查函數(shù)最值問題，應(yīng)注意與實(shí)際問題相聯(lián)系．