Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2).

【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，使得最值大于0即可.

解析；

（1），定義域

所以.

討論：

當(dāng)時(shí)，對(duì)或，成立，

所以函數(shù)在區(qū)間，上均是單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，對(duì)或，成立，

所以函數(shù) 在區(qū)間，上均是單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)是常函數(shù)，無(wú)單調(diào)性.

（2）若，對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立.

令，則.

討論：

①當(dāng)，即時(shí)，且不恒為0，

所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增.

又，所以對(duì)任意恒成立.

故符合題意

②當(dāng)時(shí)，令得；令，得.

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，即當(dāng)時(shí)，存在，使.

故知對(duì)任意不恒成立，故不符合題意.

綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.