Question

2002年在北京召開的世界數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)圖案是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間的陰影部分是一個小正方形的“趙爽弦圖”．若這四個全等的直角三角形有一個角為30°，頂點(diǎn)B₁、B₂、B₃、…、B_n和C₁、C₂、C₃、…、C_n分別在直線y=-

1

2

x+

3

+1和x軸上，則第n個陰影正方形的面積為

 

．

Answer 1

分析：利用直角三角形兩條直角邊的差求出第一個正方形的邊長，依次求出第二個、第三個小正方形的邊長，歸納總結(jié)得到第n個小正方形的邊長，則第n個陰影正方形的面積可求．

解答：解：∵每四個全等直角三角形都組成1個大正方形和1個小正方形，把這樣的一個組合稱為一組．
第一組中，OC₁=C₁B₁，即點(diǎn)B₁在直線y=x上，代入直線y=-

1

2

x+

3

+1得，x=y=

2

3

(

3

+1)，
∵直角三角形有一個角為30°，可得兩直角邊OQ1=

1

3

(

3

+1)，Q1C1=

3

3

(

3

+1)，
小正方形邊長為兩直角邊之差，即為

3

3

(

3

+1)-

1

3

(

3

+1)=

2

3

，則小正方形面積為(

2

3

)2=

4

9

．
∴第1個陰影部分的面積為

4

9

．
接下來的每一組大正方形的邊長都會逐漸變小，但是成一定規(guī)律的．
用前幾組做代表，第二組的邊長設(shè)為x-

2

3

(

3

+1)，即為第二組的y值，
代入直線y=-

1

2

x+

3

+1求得x=

10

9

(

3

+1)，則第二組大正方形的邊長為

6

9

(

3

+1)．
第三組的邊長設(shè)為x-

6

9

(

3

+1)，也即為第三組的y值，
代入直線y=-

1

2

x+

3

+1求得x=

38

27

(

3

+1)，則第三組大正方形的邊長為

8

27

(

3

+1)．
如此類推，第n組大正方形的邊長為

2n

3n

(

3

+1)．
那么小正方形的邊長為(

2

3

)n．
∴第n個小正方形的面積為(

2

3

)2n．
故答案為：(

2

3

)2n．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列和求法，解答的關(guān)鍵在于通過求解前幾個小正方形的邊長，總結(jié)出小正方形邊長的關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式，是中檔題．