Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分別是AA1和B1C的中點(diǎn)
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求三棱錐E﹣BCD的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取BC中點(diǎn)G，連接AG，EG，

因?yàn)镋是B1C的中點(diǎn)，所以EG∥BB1，

且 ．

由直棱柱知，AA1∥BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中點(diǎn)，

所以EG∥AD，EG=AD

所以四邊形EGAD是平行四邊形，

所以ED∥AG，又DE平面ABC，AG平面ABC

所以DE∥平面ABC．

（2）解：因?yàn)锳D∥BB1，所以AD∥平面BCE，

所以VE﹣BCD=VD﹣BCE=VA﹣BCE=VE﹣ABC，

由（1）知，DE∥平面ABC，

所以 ．（14分）

【解析】（1）取BC中點(diǎn)G，連接AG，EG，通過(guò)證明四邊形EGAD是平行四邊形，推出ED∥AG，然后證明DE∥平面ABC．（2）證明AD∥平面BCE，利用VE﹣BCD=VD﹣BCE=VA﹣BCE=VE﹣ABC，然后求解幾何體的體積．