(2011•揭陽一模)如圖①邊長為1的正方形ABCD中,點E、F分別為AB、BC的中點,將△BEF剪去,將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起,使A、C兩點重合于點P得一三棱錐如圖②示.
(1)求證:PD⊥EF;
(2)求三棱錐P-DEF的體積;
(3)求點E到平面PDF的距離.
分析:(1)證明PD⊥EF,只需證明PD⊥平面PEF即可;
(2)解法1:依題意知圖1中AE=CF=
1
2
,從而PE=PF=
1
2
,證明PE⊥PF,利用VP-DEF=VD-PEF=
1
3
S△PEF•PD
可求;
解法2:依題意知圖2中AE=CF=
1
2
,從而PE=PF=
1
2
,取EF的中點M,連接PM,則PM⊥EF,利用VP-DEF=VD-PEF=
1
3
S△PEF•PD
可求;
(3)由(2)知PE⊥平面PDF,從而線段PE的長就是點E到平面PDF的距離.
解答:(1)證明:依題意知圖1折前AD⊥AE,CD⊥CF,-------------------------------(1分)
∴PD⊥PE,PF⊥PD,-------------------------------------------------------(2分)
∵PE∩PF=P,∴PD⊥平面PEF-----------------------------------(4分)
又∵EF?平面PEF,∴PD⊥EF----------------------------------------(5分)
(2)解法1:依題意知圖1中AE=CF=
1
2
,∴PE=PF=
1
2

在△BEF中,EF=
2
BE=
2
2
,-----(6分)
在△PEF中,PE2+PF2=EF2,
S△PEF=
1
2
•PE•PF=
1
2
1
2
1
2
=
1
8
------(8分)
VP-DEF=VD-PEF=
1
3
S△PEF•PD
=
1
3
×
1
8
×1=
1
24
.-----(10分)
解法2:依題意知圖2中AE=CF=
1
2
,∴PE=PF=
1
2

在△BEF中EF=
2
BE=
2
2
,------------------(6分)
取EF的中點M,連接PM
則PM⊥EF,∴PM=
PE2-EM2
=
2
4
---------(7分)
S△PEF=
1
2
EF•PM=
1
2
×
2
2
×
2
4
=
1
8
---------------(8分)
VP-DEF=VD-PEF=
1
3
S△PEF•PD
=
1
3
×
1
8
×1=
1
24
.------------------------------(10分)
(3)由(2)知PE⊥PF,又PE⊥PD,∴PE⊥平面PDF---------------------(12分)
∴線段PE的長就是點E到平面PDF的距離--------------------------------------(13分)
PE=
1
2
,∴點E到平面PDF的距離為
1
2
.-------------------------------------(14分)
點評:本題考查線線垂直,考查三棱錐的體積,考查點面距離的計算,解題的關鍵是利用線面垂直證明線線垂直,掌握轉換底面求體積.
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