Question

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）y=（1-

x

）（1+

1

x

）；
（2）y=

lnx

x

；
（3）y=tanx；
（4）y=xe^1-cosx．

Answer 1

分析：（1）先將式子展開(kāi)化簡(jiǎn)，再由冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解即可．
（2）由兩個(gè)函數(shù)商的求導(dǎo)法則，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)糾結(jié)即可．
（3）將tanx轉(zhuǎn)化為正弦和余弦商的形式，由兩個(gè)函數(shù)商的求導(dǎo)法則求解．
（4）首先將函數(shù)看作兩個(gè)函數(shù)y=x和y=e^1-cosx的乘積形式，利用兩個(gè)函數(shù)積的求導(dǎo)法則求解，
而y=e^1-cosx為復(fù)合函數(shù)，求導(dǎo)時(shí)應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則．

解答：解：（1）∵y=（1-

x

）（1+

1

x

）=

1

x

-

x

=x-

1

2

-x

1

2

，
∴y′=（x-

1

2

）′-（x

1

2

）′=-

1

2

x-

3

2

-

1

2

x-

1

2

．
（2）y′=（

lnx

x

）′=

(lnx)′x-x′lnx

x2

=

\f(1

x

•x-lnx，x2)=

1-lnx

x2

．
（3）y′=（

sinx

cosx

）′=

(sinx)′cosx-sinx(cosx)′

cos2x

=

cosxcosx-sinx(-sinx)

cos2x

=

1

cos2x

．
（4）y′=（xe^1-cosx）′=e^1-cosx+x（e^1-cosx）′
=e^1-cosx+x[e^1-cosx•（1-cosx）′]
=e^1-cosx+xe^1-cosx•sinx
=（1+xsinx）e^1-cosx．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的求解、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考查運(yùn)算能力．