(本小題滿分14分)
如圖所示,四棱錐中,底面為正方形,平面,,分別為、、的中點(diǎn).

(1)求證:
(2)求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值.
(1)要證 ,只需證,只需證 平面; (2)。

試題分析:(1)∵平面平面,
   又為正方形,∴.又,…………3分
平面 ∵平面,∴. ………………………………5分
中,中位線,∴     ……………6分
(2)記AD中點(diǎn)為H,連結(jié)FH、HG,易知GH//DC,,    
中EF//DC,∴EF//GH所以E、F、H、G四點(diǎn)共面……7分
∴平面EFG與平面ABCD交于GH,所求銳二面角為F-GH-D.……………8分
由(1)平面,EF//DC//GH∴平面
平面FHD,平面FHD,
所以FH,DH,
∴二面角F-GH-D的平面角是  ……………………11分
FH是等腰直角的中位線,=  …………………………13分
∴所求銳二面角的余弦值為.………………14分
證法2:DA、DC、DP兩兩垂直,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系…1分

,, ,,G(1,2,0),       ………3分
(1), ………………4分
 ∴……6分
      ………………………………………7分
(2)∵平面
是平面的一個(gè)法向量.………9分
設(shè)平面EFG的法向量為,∵
,得是平面的一個(gè)法向量. …………11分
        …………………………13分
∴所求銳二面角的余弦值為.                ……………………………14分
點(diǎn)評(píng):二面角的求法是立體幾何中的一個(gè)難點(diǎn)。我們解決此類問題常用的方法有兩種:①綜合法,綜合法的一般步驟是:一作二說三求。②向量法,運(yùn)用向量法求二面角應(yīng)注意的是計(jì)算。很多同學(xué)都會(huì)應(yīng)用向量法求二面角,但結(jié)果往往求不對(duì),出現(xiàn)的問題就是計(jì)算錯(cuò)誤。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)如圖,在點(diǎn)上,過點(diǎn)//的位置(),
使得.

(I)求證:  (II)試問:當(dāng)點(diǎn)上移動(dòng)時(shí),二面角的平面角的余弦值是否為定值?若是,求出定值,若不是,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

、是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題中不正確的是(     )
A.若,則
B.若,,則
C.若,則
D.若、所成的角相等,則

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在五面體ABCDEF中,,,

(Ⅰ)求異面直線BF與DE所成角的余弦值;
(Ⅱ)在線段CE上是否存在點(diǎn)M,使得直線AM與平面CDE所成角的正弦值為?若存在,試確定點(diǎn)M的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知直線及平面,它們具備下列哪組條件時(shí),有成立(  )
A.B.
C.所成的角相等D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知直線⊥平面,直線m平面,有下列命題:
⊥m;  ②∥m;
∥m;  ④⊥m
其中正確命題的序號(hào)是               

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,在正方體中,、分別是、的中點(diǎn),則異面直線
所成的角的大小是____________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

的中線AF與中位線DE相交于G,已知繞邊DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形,給出四個(gè)命題:
①動(dòng)點(diǎn)上的射影在線段上;
②恒有;
③三棱錐的體積有最大值;
④異面直線不可能垂直.
以上正確的命題序號(hào)是        ;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

給出下列四個(gè)命題:
(1)如果平面與平面相交,那么平面內(nèi)所有的直線都與平面相交
(2)如果平面⊥平面,那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面
(3)如果平面⊥平面,那么平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與平面也不垂直
(4)如果平面不垂直于平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面
真命題的序號(hào)是     .(寫出所有真命題的序號(hào))

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案